Номер 219, страница 47 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §6. Свойства степени с натуральным показателем - номер 219, страница 47.

Условие.

219. Представьте в виде степени выражение:

1) $a^3b^3$;

2) $-m^7$;

3) $9m^2n^2$;

4) $64x^3y^3$;

5) $-\frac{27}{343}c^3d^3$;

6) $0,0001k^4p^4$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Чтобы представить произведение $a^3b^3$ в виде степени, воспользуемся свойством степени произведения, которое гласит, что произведение степеней с одинаковыми показателями равно степени произведения оснований с тем же показателем: $x^n y^n = (xy)^n$.
В данном случае основания — это $a$ и $b$, а общий показатель степени — $3$.
Применяя это свойство, получаем: $a^3b^3 = (ab)^3$.
Ответ: $(ab)^3$

2) Рассмотрим выражение $-m^7$. Знак минус можно представить как множитель $-1$.
$-m^7 = -1 \cdot m^7$.
Поскольку показатель степени $7$ является нечетным числом, то $(-1)^7 = -1$.
Таким образом, мы можем записать:
$-m^7 = (-1)^7 \cdot m^7$.
Теперь, используя свойство степени произведения $x^n y^n = (xy)^n$, объединим множители:
$(-1)^7 \cdot m^7 = (-1 \cdot m)^7 = (-m)^7$.
Ответ: $(-m)^7$

3) В выражении $9m^2n^2$ сначала представим числовой коэффициент $9$ в виде степени. Так как переменные $m$ и $n$ возведены во вторую степень, представим $9$ как квадрат числа: $9 = 3^2$.
Теперь выражение выглядит так: $3^2m^2n^2$.
Все множители ($3$, $m$, $n$) возведены в одну и ту же степень $2$. Применим свойство степени произведения:
$3^2m^2n^2 = (3mn)^2$.
Ответ: $(3mn)^2$

4) В выражении $64x^3y^3$ переменные $x$ и $y$ возведены в третью степень. Представим коэффициент $64$ в виде числа в третьей степени. Мы знаем, что $4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 16 \cdot 4 = 64$.
Таким образом, выражение можно переписать в виде: $4^3x^3y^3$.
Все множители ($4$, $x$, $y$) имеют одинаковый показатель степени $3$. Используя свойство степени произведения, получаем:
$4^3x^3y^3 = (4xy)^3$.
Ответ: $(4xy)^3$

5) Рассмотрим выражение $-\frac{27}{343}c^3d^3$. Показатель степени у переменных $c$ и $d$ равен $3$. Представим дробный коэффициент в виде куба некоторого числа.
Числитель: $27 = 3^3$.
Знаменатель: $343 = 7^3$.
Следовательно, $\frac{27}{343} = \frac{3^3}{7^3} = (\frac{3}{7})^3$.
Выражение принимает вид: $-(\frac{3}{7})^3 c^3d^3$.
Так как показатель степени $3$ — нечетное число, знак минус можно внести в основание степени: $-(\frac{3}{7})^3 = (-\frac{3}{7})^3$.
Получаем: $(-\frac{3}{7})^3 c^3d^3$.
Объединяем все множители под одной степенью:
$(-\frac{3}{7}cd)^3$.
Ответ: $(-\frac{3}{7}cd)^3$

6) В выражении $0,0001k^4p^4$ переменные $k$ и $p$ возведены в четвертую степень. Представим десятичную дробь $0,0001$ в виде числа в четвертой степени.
$0,0001 = \frac{1}{10000} = \frac{1}{10^4} = (\frac{1}{10})^4 = (0,1)^4$.
Теперь выражение можно записать как: $(0,1)^4 k^4 p^4$.
Все множители ($0,1$, $k$, $p$) имеют одинаковый показатель степени $4$. Применим свойство степени произведения:
$(0,1)^4 k^4 p^4 = (0,1kp)^4$.
Ответ: $(0,1kp)^4$