Номер 221, страница 48 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §6. Свойства степени с натуральным показателем - номер 221, страница 48.

Условие.

221. Представьте выражение в виде степени и вычислите его значение (при необходимости воспользуйтесь таблицей степеней чисел 2 и 3, расположенной на форзаце учебника):

1) $2^3 \cdot 2^4;$

2) $(3^2)^3;$

3) $0,2 \cdot 0,2^2 \cdot 0,2^3;$

4) $0,5^{12} \cdot 2^{12};$

5) $2^{12} : 2^8;$

6) $(3^4)^5 : 3^{19};$

7) $(\frac{1}{3})^9 \cdot 9^9;$

8) $2,5^5 \cdot 40^5.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Чтобы умножить степени с одинаковым основанием, нужно сложить их показатели, а основание оставить тем же. Это свойство степеней записывается как $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

$2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7$

Теперь вычислим значение выражения:

$2^7 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 128$

Ответ: $2^7 = 128$.

2) При возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели перемножаются. Свойство: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

$(3^2)^3 = 3^{2 \cdot 3} = 3^6$

Теперь вычислим значение выражения:

$3^6 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 729$

Ответ: $3^6 = 729$.

3) Используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$), учитывая, что $0,2$ можно записать как $0,2^1$.

$0,2 \cdot 0,2^2 \cdot 0,2^3 = 0,2^1 \cdot 0,2^2 \cdot 0,2^3 = 0,2^{1+2+3} = 0,2^6$

Теперь вычислим значение выражения:

$0,2^6 = 0,000064$

Ответ: $0,2^6 = 0,000064$.

4) Чтобы перемножить степени с одинаковыми показателями, нужно перемножить их основания, а показатель степени оставить прежним. Свойство: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$.

$0,5^{12} \cdot 2^{12} = (0,5 \cdot 2)^{12} = 1^{12}$

Любая степень числа 1 равна 1.

$1^{12} = 1$

Ответ: $1^{12} = 1$.

5) При делении степеней с одинаковым основанием из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя, а основание оставляют тем же. Свойство: $a^m : a^n = a^{m-n}$.

$2^{12} : 2^8 = 2^{12-8} = 2^4$

Теперь вычислим значение выражения:

$2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$

Ответ: $2^4 = 16$.

6) Сначала применим правило возведения степени в степень ($(a^m)^n = a^{m \cdot n}$), а затем правило деления степеней с одинаковым основанием ($a^m : a^n = a^{m-n}$).

$(3^4)^5 : 3^{19} = 3^{4 \cdot 5} : 3^{19} = 3^{20} : 3^{19}$

$3^{20} : 3^{19} = 3^{20-19} = 3^1 = 3$

Ответ: $3^1 = 3$.

7) Используем правило умножения степеней с одинаковым показателем: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$.

$(\frac{1}{3})^9 \cdot 9^9 = (\frac{1}{3} \cdot 9)^9 = (\frac{9}{3})^9 = 3^9$

Теперь вычислим значение выражения (можно воспользоваться таблицей степеней):

$3^9 = 19683$

Ответ: $3^9 = 19683$.

8) Применяем свойство умножения степеней с одинаковым показателем: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$.

$2,5^5 \cdot 40^5 = (2,5 \cdot 40)^5 = 100^5$

Теперь вычислим значение выражения:

$100^5 = (10^2)^5 = 10^{2 \cdot 5} = 10^{10} = 10 000 000 000$

Ответ: $100^5 = 10 000 000 000$.