Номер 220, страница 47 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §6. Свойства степени с натуральным показателем - номер 220, страница 47.

Условие.

220. Представьте в виде степени выражение:

1) $x^{12}y^{12}$;

2) $-125m^3n^3$;

3) $32p^5q^5$;

4) $1\,000\,000\,000a^9b^9c^9$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Чтобы представить выражение $x^{12}y^{12}$ в виде степени, воспользуемся свойством степени произведения: $(ab)^n = a^n b^n$. В данном выражении множители $x$ и $y$ имеют одинаковый показатель степени $12$.

Применяя это свойство в обратном порядке, мы можем сгруппировать основания под общим показателем степени:

$x^{12}y^{12} = (x \cdot y)^{12} = (xy)^{12}$.

Ответ: $(xy)^{12}$.

2) Рассмотрим выражение $-125m^3n^3$. Здесь переменные $m$ и $n$ имеют одинаковый показатель степени $3$. Необходимо представить числовой коэффициент $-125$ в виде степени с таким же показателем.

Поскольку $5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$, то $5^3 = 125$. Следовательно, $(-5) \cdot (-5) \cdot (-5) = -125$, то есть $(-5)^3 = -125$.

Теперь мы можем переписать исходное выражение следующим образом:

$-125m^3n^3 = (-5)^3 m^3 n^3$.

Используя свойство степени произведения $(abc)^n = a^n b^n c^n$, объединяем все множители под одной степенью:

$(-5)^3 m^3 n^3 = (-5mn)^3$.

Ответ: $(-5mn)^3$.

3) Рассмотрим выражение $32p^5q^5$. Показатели степеней у переменных $p$ и $q$ равны $5$. Представим коэффициент $32$ в виде степени с показателем $5$.

Найдем число, которое в пятой степени равно 32. Это число 2, так как $2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$.

Таким образом, выражение можно записать в виде: $2^5 p^5 q^5$.

Снова применяем свойство степени произведения:

$2^5 p^5 q^5 = (2pq)^5$.

Ответ: $(2pq)^5$.

4) Рассмотрим выражение $1 000 000 000 a^9 b^9 c^9$. Показатели степеней у всех переменных $a$, $b$ и $c$ равны $9$. Представим число $1 000 000 000$ в виде степени с показателем $9$.

Число $1 000 000 000$ (один миллиард) представляет собой $1$ с девятью нулями, что эквивалентно $10^9$.

Запишем выражение в новом виде: $10^9 a^9 b^9 c^9$.

Применяем свойство степени произведения для всех четырех множителей:

$10^9 a^9 b^9 c^9 = (10abc)^9$.

Ответ: $(10abc)^9$.