Номер 223, страница 48 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §6. Свойства степени с натуральным показателем - номер 223, страница 48.

Условие.

223. Найдите в данных примерах ошибки:

1) $a^4 a^3 = a^{12}$;

2) $a \cdot a = 2a$;

3) $(a^3)^2 = a^9$;

4) $3^2 \cdot 5^2 = 15^4$;

5) $2^2 \cdot 7^3 = 14^5$;

6) $(2a)^4 = 8a^4$;

7) $3 \cdot 4^3 = 12^3$;

8) $a^7 b^7 = (ab)^{14}$;

9) $a^3 b^2 = (ab)^6$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Ошибка в примере $a^4a^3 = a^{12}$ заключается в том, что при умножении степеней с одинаковым основанием их показатели должны складываться, а не умножаться. Согласно свойству степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
Правильное решение: $a^4 a^3 = a^{4+3} = a^7$.
Ответ: $a^4 a^3 = a^7$.

2) Ошибка в примере $a \cdot a = 2a$ состоит в том, что произведение двух одинаковых множителей равно квадрату этого множителя, а не его удвоенному значению. Удвоенное значение соответствует сложению: $a + a = 2a$.
Правильное решение: $a \cdot a = a^2$.
Ответ: $a \cdot a = a^2$.

3) Ошибка в примере $(a^3)^2 = a^9$ заключается в том, что при возведении степени в степень показатели должны перемножаться, а не возводиться один в другой. Согласно свойству степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
Правильное решение: $(a^3)^2 = a^{3 \cdot 2} = a^6$.
Ответ: $(a^3)^2 = a^6$.

4) Ошибка в примере $3^2 \cdot 5^2 = 15^4$ в том, что при умножении степеней с одинаковыми показателями, основания перемножаются, а показатель степени остается прежним. Показатели были сложены, что неверно. Согласно свойству степеней $a^n \cdot b^n = (ab)^n$.
Правильное решение: $3^2 \cdot 5^2 = (3 \cdot 5)^2 = 15^2$.
Ответ: $3^2 \cdot 5^2 = 15^2$.

5) Ошибка в примере $2^2 \cdot 7^3 = 14^5$ состоит в неверном применении свойств степеней. Нельзя одновременно перемножать основания и складывать показатели, если и основания, и показатели у степеней разные. Данное выражение не может быть упрощено по правилам умножения степеней.
Правильное решение: Равенство неверно, так как $2^2 \cdot 7^3 = 4 \cdot 343 = 1372$, а $14^5 = 537824$.
Ответ: Равенство $2^2 \cdot 7^3 = 14^5$ неверно.

6) Ошибка в примере $(2a)^4 = 8a^4$ заключается в том, что при возведении произведения в степень, в эту степень нужно возвести каждый множитель. Коэффициент 2 был умножен на показатель 4, вместо того чтобы быть возведенным в 4-ю степень. Согласно свойству степеней $(ab)^n = a^n b^n$.
Правильное решение: $(2a)^4 = 2^4 \cdot a^4 = 16a^4$.
Ответ: $(2a)^4 = 16a^4$.

7) Ошибка в примере $3 \cdot 4^3 = 12^3$ в том, что основания были перемножены, хотя множитель 3 не стоит в степени 3. Правило умножения степеней с одинаковыми показателями здесь неприменимо.
Правильное решение: Равенство неверно, так как $3 \cdot 4^3 = 3 \cdot 64 = 192$, а $12^3 = 1728$.
Ответ: Равенство $3 \cdot 4^3 = 12^3$ неверно.

8) Ошибка в примере $a^7 b^7 = (ab)^{14}$ аналогична ошибке в пункте 4. При умножении степеней с одинаковыми показателями, показатель степени остается прежним, а не складывается.
Правильное решение: $a^7 b^7 = (ab)^7$.
Ответ: $a^7 b^7 = (ab)^7$.

9) Ошибка в примере $a^3 b^2 = (ab)^6$ состоит в применении несуществующего правила (перемножение оснований и перемножение показателей). Упростить это выражение, объединив основания, нельзя, так как показатели степеней различны.
Правильное решение: Выражение $a^3 b^2$ не может быть упрощено таким образом.
Ответ: Равенство $a^3 b^2 = (ab)^6$ неверно.