Номер 202, страница 42 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §5. Степень с натуральным показателем - номер 202, страница 42.

Условие.

202. Сравните значения выражений:

1) $2^2 \cdot 2^3$ и $2^5$;

2) $4^2 \cdot 4^1$ и $4^3$;

3) $(3^3)^2$ и $3^6$;

4) $\left(\left(\frac{1}{2}\right)^4\right)^3$ и $\left(\frac{1}{2}\right)^{12}$;

5) $5^3 \cdot 2^3$ и $(5 \cdot 2)^3$;

6) $(0,25 \cdot 4)^2$ и $0,25^2 \cdot 4^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Сравним выражения $2^2 \cdot 2^3$ и $2^5$.

Чтобы упростить первое выражение, воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

Применяя это свойство, получаем:

$2^2 \cdot 2^3 = 2^{2+3} = 2^5$.

Теперь сравним полученный результат со вторым выражением: $2^5 = 2^5$.

Следовательно, значения выражений равны.

Ответ: $2^2 \cdot 2^3 = 2^5$.

2) Сравним выражения $4^2 \cdot 4^1$ и $4^3$.

Используем то же свойство умножения степеней, что и в предыдущем пункте: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

$4^2 \cdot 4^1 = 4^{2+1} = 4^3$.

Сравнивая полученное значение со вторым выражением, видим, что $4^3 = 4^3$.

Значения выражений равны.

Ответ: $4^2 \cdot 4^1 = 4^3$.

3) Сравним выражения $(3^3)^2$ и $3^6$.

Для упрощения первого выражения воспользуемся свойством возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

$(3^3)^2 = 3^{3 \cdot 2} = 3^6$.

Сравниваем результат со вторым выражением: $3^6 = 3^6$.

Значения выражений равны.

Ответ: $(3^3)^2 = 3^6$.

4) Сравним выражения $((\frac{1}{2})^4)^3$ и $(\frac{1}{2})^{12}$.

Воспользуемся свойством возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

$((\frac{1}{2})^4)^3 = (\frac{1}{2})^{4 \cdot 3} = (\frac{1}{2})^{12}$.

Сравнивая полученный результат со вторым выражением, видим, что они равны: $(\frac{1}{2})^{12} = (\frac{1}{2})^{12}$.

Значения выражений равны.

Ответ: $((\frac{1}{2})^4)^3 = (\frac{1}{2})^{12}$.

5) Сравним выражения $5^3 \cdot 2^3$ и $(5 \cdot 2)^3$.

Для упрощения первого выражения воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковыми показателями: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$.

$5^3 \cdot 2^3 = (5 \cdot 2)^3$.

Сравнивая полученный результат со вторым выражением, видим, что они равны: $(5 \cdot 2)^3 = (5 \cdot 2)^3$.

Значения выражений равны.

Ответ: $5^3 \cdot 2^3 = (5 \cdot 2)^3$.

6) Сравним выражения $(0,25 \cdot 4)^2$ и $0,25^2 \cdot 4^2$.

Для второго выражения можно применить свойство умножения степеней с одинаковыми показателями: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$.

$0,25^2 \cdot 4^2 = (0,25 \cdot 4)^2$.

Таким образом, оба выражения идентичны. Можно также вычислить их значения напрямую.

Значение первого выражения: $(0,25 \cdot 4)^2 = 1^2 = 1$.

Значение второго выражения: $0,25^2 \cdot 4^2 = 0,0625 \cdot 16 = 1$.

Так как $1 = 1$, значения выражений равны.

Ответ: $(0,25 \cdot 4)^2 = 0,25^2 \cdot 4^2$.