Номер 189, страница 41 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §5. Степень с натуральным показателем - номер 189, страница 41.

Условие.

189. Докажите, что не имеет положительных корней уравнение:

1) $2x^2 + 5x + 2 = 0;$

2) $x^4 + 3x^3 + 4x^2 + 3x + 1 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) $2x^2 + 5x + 2 = 0$

Для того чтобы доказать, что у данного уравнения нет положительных корней, рассмотрим его левую часть при условии, что $x > 0$. Если $x$ является положительным числом, то каждое слагаемое в выражении $2x^2 + 5x + 2$ будет положительным. Действительно, слагаемое $2x^2 > 0$, так как $x^2 > 0$ для любого $x > 0$; слагаемое $5x > 0$, так как это произведение двух положительных чисел; и слагаемое $2$ — это положительная константа. Сумма трех положительных чисел всегда является положительным числом, поэтому для любого $x > 0$ левая часть уравнения $2x^2 + 5x + 2$ будет строго больше нуля. Это означает, что она не может равняться нулю, и, следовательно, уравнение не имеет положительных корней.
Ответ: Уравнение не имеет положительных корней.

2) $x^4 + 3x^3 + 4x^2 + 3x + 1 = 0$

Доказательство аналогично предыдущему пункту. Рассмотрим левую часть уравнения при $x > 0$. Если $x$ — положительное число, то все члены многочлена $x^4 + 3x^3 + 4x^2 + 3x + 1$ положительны. Так как $x > 0$, то $x^4 > 0$, $3x^3 > 0$, $4x^2 > 0$, $3x > 0$, и свободный член $1$ также положителен. Сумма нескольких положительных чисел всегда положительна. Таким образом, при любом $x > 0$ значение выражения $x^4 + 3x^3 + 4x^2 + 3x + 1$ будет строго больше нуля. Следовательно, это выражение не может равняться нулю, что доказывает отсутствие положительных корней у данного уравнения.
Ответ: Уравнение не имеет положительных корней.