Номер 190, страница 41 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §5. Степень с натуральным показателем - номер 190, страница 41.

Условие.

190. Докажите, что не имеет отрицательных корней уравнение:

1) $x^4 - 5x^3 + 6x^2 - 7x + 5 = 0;$

2) $x^8 + x^4 + 1 = x^7 + x^3 + x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) $x^4 - 5x^3 + 6x^2 - 7x + 5 = 0$

Чтобы доказать, что уравнение не имеет отрицательных корней, рассмотрим случай, когда $x < 0$. Проанализируем знак каждого слагаемого в левой части уравнения при $x < 0$:

• $x^4$: Так как $x$ возводится в четную степень (4), результат всегда будет положительным, то есть $x^4 > 0$.
• $-5x^3$: Так как $x < 0$, то $x^3$ будет отрицательным (нечетная степень). Произведение отрицательного коэффициента (-5) на отрицательное число ($x^3$) дает положительный результат: $-5x^3 > 0$.
• $6x^2$: Так как $x$ возводится в четную степень (2), $x^2$ будет положительным. Произведение положительного коэффициента (6) на положительное число ($x^2$) положительно: $6x^2 > 0$.
• $-7x$: Произведение отрицательного коэффициента (-7) на отрицательное число ($x$) дает положительный результат: $-7x > 0$.
• $5$: Это положительная константа, $5 > 0$.

Таким образом, при любом отрицательном значении $x$ левая часть уравнения представляет собой сумму пяти строго положительных слагаемых. Сумма положительных чисел всегда положительна. Следовательно, $x^4 - 5x^3 + 6x^2 - 7x + 5 > 0$ при любом $x < 0$.

Поскольку левая часть уравнения всегда больше нуля для любого отрицательного $x$, она никогда не может быть равна нулю. Это доказывает, что данное уравнение не имеет отрицательных корней.

Ответ: Доказано, что уравнение не имеет отрицательных корней.

2) $x^8 + x^4 + 1 = x^7 + x^3 + x$

Чтобы доказать, что это уравнение не имеет отрицательных корней, рассмотрим случай, когда $x < 0$. Проанализируем знаки левой (ЛЧ) и правой (ПЧ) частей уравнения.

Рассмотрим левую часть: ЛЧ = $x^8 + x^4 + 1$.

• $x^8$: Так как $x$ возводится в четную степень (8), результат всегда положителен: $x^8 > 0$.
• $x^4$: Так как $x$ возводится в четную степень (4), результат также положителен: $x^4 > 0$.
• $1$: Положительная константа.

Левая часть является суммой трех положительных слагаемых, поэтому она всегда строго положительна при $x < 0$. То есть, ЛЧ > 0.

Рассмотрим правую часть: ПЧ = $x^7 + x^3 + x$.

• $x^7$: Так как $x < 0$, а степень нечетная (7), результат будет отрицательным: $x^7 < 0$.
• $x^3$: Так как $x < 0$, а степень нечетная (3), результат будет отрицательным: $x^3 < 0$.
• $x$: По условию $x < 0$.

Правая часть является суммой трех отрицательных слагаемых, поэтому она всегда строго отрицательна при $x < 0$. То есть, ПЧ < 0.

Таким образом, для любого отрицательного значения $x$ левая часть уравнения ($x^8 + x^4 + 1$) строго положительна, а правая часть ($x^7 + x^3 + x$) строго отрицательна. Равенство между положительным и отрицательным числом невозможно.

ЛЧ ($>0$) $\neq$ ПЧ ($<0$)

Следовательно, данное уравнение не может иметь отрицательных корней.

Ответ: Доказано, что уравнение не имеет отрицательных корней.