Номер 186, страница 41 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §5. Степень с натуральным показателем - номер 186, страница 41.

Условие.

186. При каких натуральных значениях $m$ верно неравенство $0,07 < 0,4^m < 0,5$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Требуется найти все натуральные значения $m$, при которых выполняется двойное неравенство $0,07 < 0,4^m < 0,5$.

Поскольку $m$ по условию является натуральным числом, то есть $m \in \{1, 2, 3, \dots\}$, мы можем решить эту задачу, последовательно проверяя значения $m$ начиная с 1.

Рассмотрим показательную функцию $y(m) = 0,4^m$. Так как основание степени $0,4$ меньше 1 ($0 < 0,4 < 1$), эта функция является убывающей. Это означает, что с увеличением $m$ значение $0,4^m$ будет уменьшаться.

Проверим значение при $m=1$:
$0,4^1 = 0,4$.
Подставим в исходное неравенство: $0,07 < 0,4 < 0,5$.
Обе части двойного неравенства верны ($0,07 < 0,4$ и $0,4 < 0,5$), следовательно, $m=1$ является решением.

Проверим значение при $m=2$:
$0,4^2 = 0,16$.
Подставим в исходное неравенство: $0,07 < 0,16 < 0,5$.
Обе части двойного неравенства верны ($0,07 < 0,16$ и $0,16 < 0,5$), следовательно, $m=2$ является решением.

Проверим значение при $m=3$:
$0,4^3 = 0,4^2 \cdot 0,4 = 0,16 \cdot 0,4 = 0,064$.
Подставим в исходное неравенство: $0,07 < 0,064 < 0,5$.
Левая часть этого неравенства ($0,07 < 0,064$) неверна. Следовательно, $m=3$ не является решением.

Так как функция $y(m) = 0,4^m$ убывающая, то для любого натурального числа $m \ge 3$ значение $0,4^m$ будет меньше, чем $0,4^3 = 0,064$. Это означает, что для всех $m \ge 3$ левая часть исходного неравенства $0,07 < 0,4^m$ выполняться не будет.

Таким образом, неравенство верно только для натуральных значений $m=1$ и $m=2$.

Ответ: 1, 2.