Номер 32, страница 11 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Введение. §1. Введение в алгебру - номер 32, страница 11.

Условие.

32. Дано 12 натуральных чисел. Докажите, что из них всегда можно выбрать два, разность которых делится нацело на 11.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для доказательства данного утверждения используется принцип Дирихле.

При делении любого натурального числа на 11 может получиться один из 11 различных остатков: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 или 10.

В задаче дано 12 натуральных чисел. Рассмотрим эти числа как "голубей", а 11 возможных остатков от деления на 11 — как "клетки". Поскольку количество "голубей" (12) больше количества "клеток" (11), то согласно принципу Дирихле, найдется хотя бы одна "клетка", в которой будет находиться как минимум два "голубя".

Это означает, что среди 12 данных чисел существуют по крайней мере два числа, которые имеют одинаковый остаток при делении на 11.

Пусть $a$ и $b$ — это два таких числа. Их можно представить в следующем виде:
$a = 11 \cdot k_1 + r$
$b = 11 \cdot k_2 + r$
где $k_1$ и $k_2$ — некоторые целые числа (частные), а $r$ — их одинаковый остаток ($0 \le r \le 10$).

Найдем разность этих чисел:
$a - b = (11 \cdot k_1 + r) - (11 \cdot k_2 + r) = 11k_1 + r - 11k_2 - r = 11(k_1 - k_2)$.

Так как $k_1$ и $k_2$ являются целыми числами, их разность $(k_1 - k_2)$ также является целым числом. Следовательно, разность $(a - b)$ равна произведению 11 на целое число, что по определению означает, что $(a - b)$ делится нацело на 11.

Таким образом, мы доказали, что из любых 12 натуральных чисел всегда можно выбрать два, разность которых делится нацело на 11.

Ответ: Утверждение доказано.