Номер 25, страница 10 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Введение. §1. Введение в алгебру - номер 25, страница 10.

Условие.

25. Известно, что $a$ и $b$ – натуральные числа, а число $\frac{a}{b}$ – правильная дробь. Можно ли утверждать, что:

1) $a - b > 0;$

2) $\frac{1}{a} > \frac{1}{b};$

3) $\frac{b}{a} > \frac{a}{b};$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) По условию, $a$ и $b$ — натуральные числа, а дробь $\frac{a}{b}$ — правильная. По определению правильной дроби, ее числитель меньше знаменателя. Так как $a$ и $b$ — натуральные числа (положительные), это означает, что $a < b$. Если из меньшего числа вычесть большее, результат будет отрицательным. То есть, $a - b < 0$. Утверждение $a - b > 0$ является неверным. Например, если $a = 2, b = 5$, то $\frac{2}{5}$ — правильная дробь. При этом $a - b = 2 - 5 = -3$, что меньше нуля. Ответ: нельзя.

2) Из условия, что $\frac{a}{b}$ — правильная дробь, следует, что $a < b$. Поскольку $a$ и $b$ — натуральные числа, они оба положительны. Для положительных чисел действует правило: если одно число меньше другого, то обратное ему число будет больше обратного другому. Чтобы доказать это формально, разделим обе части неравенства $a < b$ на положительное число $a \cdot b$. Знак неравенства при этом не изменится: $\frac{a}{ab} < \frac{b}{ab}$. После сокращения дробей получаем $\frac{1}{b} < \frac{1}{a}$, что равносильно утверждению $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$. Таким образом, это утверждение верно. Ответ: можно.

3) Нам нужно сравнить дроби $\frac{b}{a}$ и $\frac{a}{b}$. Поскольку $a$ и $b$ — натуральные числа, то их произведение $ab$ является положительным числом. Мы можем умножить обе части предполагаемого неравенства $\frac{b}{a} > \frac{a}{b}$ на $ab$, не меняя знака неравенства. Получим: $\frac{b}{a} \cdot ab > \frac{a}{b} \cdot ab$. После сокращения это неравенство принимает вид $b^2 > a^2$. Из условия, что $\frac{a}{b}$ — правильная дробь, следует, что $a < b$. Так как $a$ и $b$ — положительные числа, то при возведении в квадрат обеих частей неравенства $a < b$ знак неравенства сохраняется: $a^2 < b^2$. Это эквивалентно $b^2 > a^2$, что доказывает верность исходного утверждения. Ответ: можно.