Номер 20, страница 10 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Введение. §1. Введение в алгебру - номер 20, страница 10.

Условие.

20. Составьте выражения для вычисления длины синей линии и площади фигуры, которую она ограничивает (рис. 2).

Рис. 2

а

Длина синей линии: $2b + a + 4c + 6d$

Площадь фигуры: $ab - 3cd$

б

Длина синей линии: $2a + 2b - c + \frac{3}{2}\pi c$

Площадь фигуры: $2ab + \frac{\pi c^2}{8}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

а

Для нахождения длины синей линии (периметра) $P_a$ сложим длины всех ее участков. Периметр состоит из нижнего основания длиной $a$, двух боковых сторон высотой $b$ каждая, и верхней ломаной линии. Сумма длин горизонтальных участков верхней линии равна $a$. К ним добавляются вертикальные участки трех выемок, общая длина которых равна $3 \times 2d = 6d$. Таким образом, периметр равен $P_a = a + 2b + a + 6d = 2a + 2b + 6d$.
Площадь фигуры $S_a$ можно найти, вычтя из площади основного прямоугольника со сторонами $a$ и $b$ (площадь $ab$) суммарную площадь трех прямоугольных выемок. Глубина каждой выемки — $d$, а их общая ширина — $a - 4c$. Площадь выемок равна $d(a - 4c)$. Следовательно, площадь фигуры: $S_a = ab - d(a - 4c)$.

Ответ: Длина линии: $2a + 2b + 6d$. Площадь фигуры: $ab - d(a-4c)$.

б

Длина синей линии (периметр) $P_b$ состоит из верхнего отрезка длиной $a$, прямых участков нижней стороны общей длиной $a-c$, четырех вертикальных отрезков по $b$ каждый (общая длина $4b$) и трех дуг полуокружностей. Каждая дуга имеет диаметр $c$ и длину $\frac{1}{2}\pi c$. Общая длина дуг — $\frac{3}{2}\pi c$. Суммируя все части, получаем: $P_b = a + (a - c) + 4b + \frac{3}{2}\pi c = 2a + 4b - c + \frac{3}{2}\pi c$.
Площадь фигуры $S_b$ состоит из площади центрального прямоугольника размером $a \times 2b$ (его площадь $2ab$), к которой добавляется площадь двух боковых полуокружностей и вычитается площадь нижней полуокружности. Так как все полуокружности одинаковы, это эквивалентно добавлению площади одной полуокружности. Площадь полуокружности с диаметром $c$ (радиус $r=c/2$) равна $\frac{1}{2}\pi r^2 = \frac{1}{2}\pi(\frac{c}{2})^2 = \frac{\pi c^2}{8}$. Итоговая площадь: $S_b = 2ab + \frac{\pi c^2}{8}$.

Ответ: Длина линии: $2a + 4b - c + \frac{3}{2}\pi c$. Площадь фигуры: $2ab + \frac{\pi c^2}{8}$.