Номер 19, страница 9 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Введение. §1. Введение в алгебру - номер 19, страница 9.

Условие.

19. Составьте выражения для вычисления длины синей линии и площади фигуры, которую она ограничивает (рис. 1).

Рис. 1

а

б

в

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

а

Длина синей линии (периметр) фигуры является суммой длин всех ее сторон. Фигура представляет собой шестиугольник. Длины четырех его сторон обозначены буквами $a, b, c, d$. Длины двух других сторон можно выразить через них. Горизонтальная внутренняя сторона имеет длину $a-c$, а вертикальная внутренняя сторона — $b-d$.
Таким образом, периметр $P$ равен:
$P = a + b + c + d + (a-c) + (b-d) = 2a + 2b$.

Площадь фигуры можно найти, разделив ее на два прямоугольника. Например, можно провести вертикальную линию, разделяющую фигуру на прямоугольник со сторонами $b$ и $c$ и прямоугольник со сторонами $d$ и $(a-c)$.
Площадь первого прямоугольника: $S_1 = bc$.
Площадь второго прямоугольника: $S_2 = d(a-c)$.
Общая площадь фигуры $S$ равна сумме их площадей:
$S = bc + d(a-c)$.

Ответ: Длина линии: $P = 2(a + b)$. Площадь фигуры: $S = bc + d(a-c)$.

б

Для вычисления длины синей линии (периметра) необходимо сложить длины всех ее сторон. Будем считать фигуру симметричной. Периметр состоит из следующих отрезков: верхний горизонтальный ($d$), нижний горизонтальный ($a$), две боковые вертикальные части "ножки" (каждая длиной $b$, в сумме $2b$), две боковые вертикальные части "перекладины" (каждая длиной $c$, в сумме $2c$) и два нижних горизонтальных отрезка "перекладины" (каждый длиной $\frac{d-a}{2}$, в сумме $d-a$).
Суммарный периметр $P$ равен:
$P = d + a + 2b + 2c + (d-a) = 2d + 2b + 2c = 2(b+c+d)$.

Площадь фигуры можно вычислить как сумму площадей двух прямоугольников, из которых она состоит: "перекладины" со сторонами $d$ и $c$ и "ножки" со сторонами $a$ и $b$.
Площадь "перекладины": $S_1 = cd$.
Площадь "ножки": $S_2 = ab$.
Общая площадь фигуры $S$ равна:
$S = ab + cd$.

Ответ: Длина линии: $P = 2(b+c+d)$. Площадь фигуры: $S = ab+cd$.

в

Длина синей линии (периметр) этой фигуры состоит из прямых отрезков и двух дуг-полуокружностей.
Сумма длин прямых отрезков: нижняя сторона $a$, две боковые стороны по $b$ (в сумме $2b$) и три верхних отрезка по $c$ (в сумме $3c$).
Две дуги — это полуокружности с диаметром $d$. Длина одной полуокружности вычисляется по формуле $\frac{1}{2}\pi d$. Суммарная длина двух таких дуг равна $2 \cdot \frac{1}{2}\pi d = \pi d$.
Общий периметр $P$ равен сумме длин всех этих частей:
$P = a + 2b + 3c + \pi d$.

Площадь фигуры можно найти, вычев из площади большого прямоугольника со сторонами $a$ и $b$ площади двух вырезанных полукругов.
Площадь прямоугольника: $S_{прям} = ab$.
Два полукруга с диаметром $d$ вместе образуют круг с диаметром $d$ (и радиусом $r = \frac{d}{2}$). Площадь этого круга равна $\pi r^2 = \pi (\frac{d}{2})^2 = \frac{\pi d^2}{4}$.
Итоговая площадь фигуры $S$ равна:
$S = S_{прям} - S_{круга} = ab - \frac{\pi d^2}{4}$.

Ответ: Длина линии: $P = a + 2b + 3c + \pi d$. Площадь фигуры: $S = ab - \frac{\pi d^2}{4}$.