Номер 557, страница 100 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §15. Разность квадратов двух выражений - номер 557, страница 100.

Условие.

557. При каком значении $b$ уравнение $(b^2 - 4)x = b - 2$:

1) имеет бесконечно много корней;

2) не имеет корней;

3) имеет один корень?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Данное уравнение является линейным уравнением вида $Ax = B$, где $A = b^2 - 4$ и $B = b - 2$. Количество корней такого уравнения зависит от значений коэффициентов $A$ и $B$.

1) имеет бесконечно много корней

Уравнение имеет бесконечно много корней, если оба коэффициента равны нулю: $A = 0$ и $B = 0$. Это соответствует системе уравнений: $ \begin{cases} b^2 - 4 = 0 \\ b - 2 = 0 \end{cases} $

Из второго уравнения следует, что $b = 2$. Проверим, удовлетворяет ли это значение первому уравнению: $2^2 - 4 = 4 - 4 = 0$. Поскольку оба условия выполняются при $b = 2$, уравнение принимает вид $0 \cdot x = 0$, что верно для любого $x$.

Ответ: при $b = 2$.

2) не имеет корней

Уравнение не имеет корней, если коэффициент при $x$ равен нулю, а правая часть не равна нулю: $A = 0$ и $B \neq 0$. Это соответствует системе условий: $ \begin{cases} b^2 - 4 = 0 \\ b - 2 \neq 0 \end{cases} $

Решим первое уравнение: $b^2 - 4 = 0$, откуда $(b-2)(b+2) = 0$. Корни этого уравнения: $b = 2$ и $b = -2$. Теперь проверим второе условие $b - 2 \neq 0$ для каждого из найденных значений $b$.

При $b = 2$, выражение $b - 2 = 2 - 2 = 0$. Это значение не удовлетворяет условию $b - 2 \neq 0$.

При $b = -2$, выражение $b - 2 = -2 - 2 = -4$. Это значение удовлетворяет условию $-4 \neq 0$. Таким образом, при $b = -2$ уравнение принимает вид $0 \cdot x = -4$, которое не имеет решений.

Ответ: при $b = -2$.

3) имеет один корень

Уравнение имеет один корень, если коэффициент при $x$ не равен нулю: $A \neq 0$. В данном случае это условие записывается как: $b^2 - 4 \neq 0$

Разложим левую часть на множители: $(b - 2)(b + 2) \neq 0$

Это неравенство выполняется, когда ни один из множителей не равен нулю, то есть: $b - 2 \neq 0 \implies b \neq 2$ и $b + 2 \neq 0 \implies b \neq -2$

Следовательно, уравнение имеет единственный корень $x = \frac{b-2}{b^2-4} = \frac{b-2}{(b-2)(b+2)} = \frac{1}{b+2}$ при всех значениях $b$, кроме $2$ и $-2$.

Ответ: при $b \neq 2$ и $b \neq -2$.