Номер 556, страница 100 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §15. Разность квадратов двух выражений - номер 556, страница 100.

Условие.

556. Остаток от деления на 7 одного натурального числа равен 4, а другого числа равен 3. Докажите, что разность квадратов этих чисел кратна 7.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Пусть $a$ и $b$ — два натуральных числа, о которых говорится в задаче.

Из условия следует, что остаток от деления числа $a$ на 7 равен 4. Это означает, что число $a$ можно представить в виде $a = 7k + 4$, где $k$ — некоторое целое неотрицательное число.

Аналогично, остаток от деления числа $b$ на 7 равен 3. Это означает, что число $b$ можно представить в виде $b = 7m + 3$, где $m$ — некоторое целое неотрицательное число.

Требуется доказать, что разность квадратов этих чисел, то есть $a^2 - b^2$, делится на 7 нацело (кратна 7).

Воспользуемся формулой сокращенного умножения для разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Найдем сумму и разность чисел $a$ и $b$, подставив их представления.

Сумма: $a + b = (7k + 4) + (7m + 3) = 7k + 7m + 7 = 7(k + m + 1)$.

Разность: $a - b = (7k + 4) - (7m + 3) = 7k - 7m + 1 = 7(k - m) + 1$.

Теперь подставим полученные выражения для суммы и разности обратно в формулу:

$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) = (7(k - m) + 1) \cdot (7(k + m + 1))$.

Рассмотрим выражение для суммы $a + b = 7(k + m + 1)$. Поскольку $k$ и $m$ — целые числа, то $(k + m + 1)$ также является целым числом. Следовательно, выражение $7(k + m + 1)$ делится на 7 без остатка.

Так как один из множителей в произведении $(a - b)(a + b)$ кратен 7, то и все произведение кратно 7. Таким образом, $a^2 - b^2$ делится на 7.

Ответ: Что и требовалось доказать.