Номер 554, страница 100 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §15. Разность квадратов двух выражений - номер 554, страница 100.

Условие.

554. Докажите тождество:

$(m^3 - n^3)^2 (m^3 + n^3)^2 - (m^6 + n^6)^2 = -4m^6n^6$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Сначала объединим первые два множителя, используя свойство $(ab)^n = a^n b^n$:

$(m^3 - n^3)^2 (m^3 + n^3)^2 = ((m^3 - n^3)(m^3 + n^3))^2$

Далее, к выражению в скобках применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:

$((m^3)^2 - (n^3)^2)^2 = (m^6 - n^6)^2$

Теперь всё выражение для левой части выглядит так:

$(m^6 - n^6)^2 - (m^6 + n^6)^2$

Это снова формула разности квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$, где $A = m^6 - n^6$ и $B = m^6 + n^6$. Применим её:

$((m^6 - n^6) - (m^6 + n^6)) \cdot ((m^6 - n^6) + (m^6 + n^6))$

Раскроем внутренние скобки и упростим каждый множитель:

$(m^6 - n^6 - m^6 - n^6) \cdot (m^6 - n^6 + m^6 + n^6) = (-2n^6) \cdot (2m^6)$

В результате умножения получаем:

$-4m^6n^6$

Таким образом, левая часть тождества равна правой: $-4m^6n^6 = -4m^6n^6$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.