Номер 547, страница 100 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §15. Разность квадратов двух выражений - номер 547, страница 100.

Условие.

547. Разложите на множители:

1) $a^8 - b^8$;

2) $a^{16} - 256$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) $a^8 - b^8$

Для разложения на множители многократно применим формулу разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

Шаг 1: Представим $a^8 - b^8$ как разность квадратов выражений $a^4$ и $b^4$.

$a^8 - b^8 = (a^4)^2 - (b^4)^2 = (a^4 - b^4)(a^4 + b^4)$.

Шаг 2: Теперь разложим множитель $(a^4 - b^4)$, который также является разностью квадратов: $(a^2)^2 - (b^2)^2$.

$(a^4 - b^4)(a^4 + b^4) = ((a^2)^2 - (b^2)^2)(a^4 + b^4) = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2)(a^4 + b^4)$.

Шаг 3: Множитель $(a^2 - b^2)$ снова является разностью квадратов.

$(a^2 - b^2)(a^2 + b^2)(a^4 + b^4) = (a - b)(a + b)(a^2 + b^2)(a^4 + b^4)$.

Выражения, представляющие собой сумму квадратов $(a^2 + b^2)$ и сумму четвёртых степеней $(a^4 + b^4)$, не раскладываются на множители с целыми коэффициентами. Таким образом, мы получили окончательное разложение.

Ответ: $(a - b)(a + b)(a^2 + b^2)(a^4 + b^4)$.

2) $a^{16} - 256$

Будем последовательно применять формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

Шаг 1: Заметим, что $256 = 16^2$. Представим выражение как разность квадратов.

$a^{16} - 256 = (a^8)^2 - 16^2 = (a^8 - 16)(a^8 + 16)$.

Шаг 2: Разложим множитель $(a^8 - 16)$, представив его как разность квадратов, так как $16 = 4^2$.

$(a^8 - 16)(a^8 + 16) = ((a^4)^2 - 4^2)(a^8 + 16) = (a^4 - 4)(a^4 + 4)(a^8 + 16)$.

Шаг 3: Разложим множитель $(a^4 - 4)$, представив его как разность квадратов, так как $4 = 2^2$.

$(a^4 - 4)(a^4 + 4)(a^8 + 16) = ((a^2)^2 - 2^2)(a^4 + 4)(a^8 + 16) = (a^2 - 2)(a^2 + 2)(a^4 + 4)(a^8 + 16)$.

Дальнейшее разложение на множители с целыми коэффициентами невозможно. Множитель $(a^2 - 2)$ не раскладывается, так как 2 не является точным квадратом целого числа. Множители, являющиеся суммами степеней, $(a^2 + 2)$, $(a^4 + 4)$ и $(a^8 + 16)$, также не раскладываются на множители с целыми коэффициентами в рамках школьной программы.

Ответ: $(a^2 - 2)(a^2 + 2)(a^4 + 4)(a^8 + 16)$.