Номер 540, страница 99 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §15. Разность квадратов двух выражений - номер 540, страница 99.

Условие.

540. Разложите на множители, пользуясь формулой разности квадратов:

1) $(x + 2)^2 - 49;$

2) $(x - 10)^2 - 25y^2;$

3) $25 - (y - 3)^2;$

4) $(a - 4)^2 - (a + 2)^2;$

5) $(m - 10)^2 - (n - 6)^2;$

6) $(8y + 4)^2 - (4y - 3)^2;$

7) $(5a + 3b)^2 - (2a - 4b)^2;$

8) $4(a - b)^2 - (a + b)^2;$

9) $(x^2 + x + 1)^2 - (x^2 - x + 2)^2;$

10) $(-3x^3 + y)^2 - 16x^6.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. В данном выражении $a = x + 2$ и $b^2 = 49$, следовательно $b = 7$.
$(x + 2)^2 - 49 = (x + 2)^2 - 7^2 = ((x + 2) - 7)((x + 2) + 7)$.
Упростим выражения в скобках:
$(x + 2 - 7)(x + 2 + 7) = (x - 5)(x + 9)$.
Ответ: $(x - 5)(x + 9)$.

2) Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Здесь $a = x - 10$ и $b^2 = 25y^2$, значит $b = 5y$.
$(x - 10)^2 - 25y^2 = (x - 10)^2 - (5y)^2 = ((x - 10) - 5y)((x - 10) + 5y)$.
Запишем в стандартном виде:
$(x - 5y - 10)(x + 5y - 10)$.
Ответ: $(x - 5y - 10)(x + 5y - 10)$.

3) Используем формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. В этом случае $a^2 = 25$, то есть $a = 5$, и $b = y - 3$.
$25 - (y - 3)^2 = 5^2 - (y - 3)^2 = (5 - (y - 3))(5 + (y - 3))$.
Раскроем внутренние скобки и упростим:
$(5 - y + 3)(5 + y - 3) = (8 - y)(2 + y)$.
Ответ: $(8 - y)(2 + y)$.

4) По формуле разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$, где $A = a - 4$ и $B = a + 2$.
$(a - 4)^2 - (a + 2)^2 = ((a - 4) - (a + 2))((a - 4) + (a + 2))$.
Упростим выражения в каждой из скобок:
$(a - 4 - a - 2)(a - 4 + a + 2) = (-6)(2a - 2)$.
Вынесем общий множитель 2 из второй скобки:
$-6 \cdot 2(a - 1) = -12(a - 1)$.
Ответ: $-12(a - 1)$.

5) Применим формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = m - 10$ и $b = n - 6$.
$(m - 10)^2 - (n - 6)^2 = ((m - 10) - (n - 6))((m - 10) + (n - 6))$.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$(m - 10 - n + 6)(m - 10 + n - 6) = (m - n - 4)(m + n - 16)$.
Ответ: $(m - n - 4)(m + n - 16)$.

6) Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 8y + 4$ и $b = 4y - 3$.
$(8y + 4)^2 - (4y - 3)^2 = ((8y + 4) - (4y - 3))((8y + 4) + (4y - 3))$.
Упростим выражения в скобках:
$(8y + 4 - 4y + 3)(8y + 4 + 4y - 3) = (4y + 7)(12y + 1)$.
Ответ: $(4y + 7)(12y + 1)$.

7) По формуле разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$, где $A = 5a + 3b$ и $B = 2a - 4b$.
$(5a + 3b)^2 - (2a - 4b)^2 = ((5a + 3b) - (2a - 4b))((5a + 3b) + (2a - 4b))$.
Раскроем скобки и упростим:
$(5a + 3b - 2a + 4b)(5a + 3b + 2a - 4b) = (3a + 7b)(7a - b)$.
Ответ: $(3a + 7b)(7a - b)$.

8) Представим выражение в виде разности квадратов. Заметим, что $4(a - b)^2 = (2(a - b))^2 = (2a - 2b)^2$.
Теперь выражение имеет вид $(2a - 2b)^2 - (a + b)^2$.
Применим формулу $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$, где $A = 2a - 2b$ и $B = a + b$.
$((2a - 2b) - (a + b))((2a - 2b) + (a + b))$.
Упростим выражения в скобках:
$(2a - 2b - a - b)(2a - 2b + a + b) = (a - 3b)(3a - b)$.
Ответ: $(a - 3b)(3a - b)$.

9) Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = x^2 + x + 1$ и $b = x^2 - x + 2$.
$((x^2 + x + 1) - (x^2 - x + 2))((x^2 + x + 1) + (x^2 - x + 2))$.
Раскроем внутренние скобки и приведем подобные слагаемые в каждом множителе:
$(x^2 + x + 1 - x^2 + x - 2)(x^2 + x + 1 + x^2 - x + 2) = (2x - 1)(2x^2 + 3)$.
Ответ: $(2x - 1)(2x^2 + 3)$.

10) Представим выражение в виде разности квадратов. Учтем, что $(-3x^3 + y)^2 = (y - 3x^3)^2$ и $16x^6 = (4x^3)^2$.
Выражение принимает вид $(y - 3x^3)^2 - (4x^3)^2$.
Применим формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = y - 3x^3$ и $b = 4x^3$.
$((y - 3x^3) - 4x^3)((y - 3x^3) + 4x^3)$.
Упростим выражения в скобках:
$(y - 3x^3 - 4x^3)(y - 3x^3 + 4x^3) = (y - 7x^3)(y + x^3)$.
Ответ: $(y - 7x^3)(y + x^3)$.