Номер 537, страница 99 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §15. Разность квадратов двух выражений - номер 537, страница 99.

Условие.

537. Разложите на множители:

1) $16 - b^2$

2) $c^2 - 49$

3) $0,04 - a^2$

4) $x^2 - \frac{4}{9}$

5) $4x^2 - 25$

6) $81c^2 - 64d^2$

7) $0,09x^2 - 0,25y^2$

8) $a^2b^4 - c^6d^8$

9) $4a^2c^2 - 9x^2y^2$

10) $x^{24} - y^{22}$

11) $-1600 + a^{12}$

12) $a^{18} - \frac{49}{64}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Все представленные выражения раскладываются на множители с помощью формулы разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

1)

В выражении $16 - b^2$ представим $16$ как квадрат числа $4$, то есть $16 = 4^2$.
Тогда выражение принимает вид разности квадратов: $4^2 - b^2$.
Применяем формулу: $4^2 - b^2 = (4 - b)(4 + b)$.
Ответ: $(4 - b)(4 + b)$.

2)

В выражении $c^2 - 49$ представим $49$ как квадрат числа $7$, то есть $49 = 7^2$.
Получаем разность квадратов: $c^2 - 7^2$.
Раскладываем по формуле: $c^2 - 7^2 = (c - 7)(c + 7)$.
Ответ: $(c - 7)(c + 7)$.

3)

В выражении $0,04 - a^2$ представим $0,04$ как квадрат числа $0,2$, так как $0,2^2 = 0,04$.
Выражение принимает вид: $(0,2)^2 - a^2$.
Применяем формулу разности квадратов: $(0,2 - a)(0,2 + a)$.
Ответ: $(0,2 - a)(0,2 + a)$.

4)

В выражении $x^2 - \frac{4}{9}$ представим дробь $\frac{4}{9}$ в виде квадрата: $\frac{4}{9} = (\frac{2}{3})^2$.
Получаем выражение: $x^2 - (\frac{2}{3})^2$.
Раскладываем по формуле: $(x - \frac{2}{3})(x + \frac{2}{3})$.
Ответ: $(x - \frac{2}{3})(x + \frac{2}{3})$.

5)

Для выражения $4x^2 - 25$ представим каждый член в виде квадрата: $4x^2 = (2x)^2$ и $25 = 5^2$.
Получаем разность квадратов: $(2x)^2 - 5^2$.
Применяем формулу: $(2x - 5)(2x + 5)$.
Ответ: $(2x - 5)(2x + 5)$.

6)

В выражении $81c^2 - 64d^2$ представим $81c^2$ как $(9c)^2$ и $64d^2$ как $(8d)^2$.
Выражение принимает вид: $(9c)^2 - (8d)^2$.
Раскладываем по формуле: $(9c - 8d)(9c + 8d)$.
Ответ: $(9c - 8d)(9c + 8d)$.

7)

Для выражения $0,09x^2 - 0,25y^2$ представим члены в виде квадратов: $0,09x^2 = (0,3x)^2$ и $0,25y^2 = (0,5y)^2$.
Получаем разность квадратов: $(0,3x)^2 - (0,5y)^2$.
Применяем формулу: $(0,3x - 0,5y)(0,3x + 0,5y)$.
Ответ: $(0,3x - 0,5y)(0,3x + 0,5y)$.

8)

В выражении $a^2b^4 - c^6d^8$ используем свойство степени $(x^m)^n = x^{mn}$.
Представим $a^2b^4$ как $(ab^2)^2$ и $c^6d^8$ как $(c^3d^4)^2$.
Получаем: $(ab^2)^2 - (c^3d^4)^2$.
Раскладываем по формуле: $(ab^2 - c^3d^4)(ab^2 + c^3d^4)$.
Ответ: $(ab^2 - c^3d^4)(ab^2 + c^3d^4)$.

9)

В выражении $4a^2c^2 - 9x^2y^2$ представим члены в виде квадратов: $4a^2c^2 = (2ac)^2$ и $9x^2y^2 = (3xy)^2$.
Получаем разность квадратов: $(2ac)^2 - (3xy)^2$.
Применяем формулу: $(2ac - 3xy)(2ac + 3xy)$.
Ответ: $(2ac - 3xy)(2ac + 3xy)$.

10)

В выражении $x^{24} - y^{22}$ представим каждый член в виде квадрата, используя свойство $a^{2n} = (a^n)^2$.
$x^{24} = (x^{12})^2$ и $y^{22} = (y^{11})^2$.
Получаем разность квадратов: $(x^{12})^2 - (y^{11})^2$.
Раскладываем по формуле: $(x^{12} - y^{11})(x^{12} + y^{11})$.
Ответ: $(x^{12} - y^{11})(x^{12} + y^{11})$.

11)

Сначала переставим члены выражения $-1600 + a^{12}$, чтобы получить стандартный вид разности: $a^{12} - 1600$.
Представим каждый член в виде квадрата: $a^{12} = (a^6)^2$ и $1600 = 40^2$.
Получаем: $(a^6)^2 - 40^2$.
Применяем формулу: $(a^6 - 40)(a^6 + 40)$.
Ответ: $(a^6 - 40)(a^6 + 40)$.

12)

В выражении $a^{18} - \frac{49}{64}$ представим члены в виде квадратов.
$a^{18} = (a^9)^2$ и $\frac{49}{64} = (\frac{7}{8})^2$.
Получаем разность квадратов: $(a^9)^2 - (\frac{7}{8})^2$.
Раскладываем по формуле: $(a^9 - \frac{7}{8})(a^9 + \frac{7}{8})$.
Ответ: $(a^9 - \frac{7}{8})(a^9 + \frac{7}{8})$.