Номер 532, страница 96 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §14. Произведение разности и суммы двух выражений - номер 532, страница 96.

Условие.

532. Для перевозки груза выделили 4-, 7- и 8-тонные грузовики. Каждый автомобиль должен сделать только одну ходку. Сколько требуется грузовиков каждого вида для перевозки 44 т груза?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Обозначим количество 4-тонных грузовиков как $x$, 7-тонных — как $y$, и 8-тонных — как $z$. Согласно условию, каждый грузовик делает только одну ходку, а общая масса перевезенного груза составляет 44 тонны. Это можно выразить в виде уравнения:

$4x + 7y + 8z = 44$

Здесь $x$, $y$ и $z$ — это целые неотрицательные числа. Фраза "выделили 4-, 7- и 8-тонные грузовики" предполагает, что были использованы грузовики всех трех видов. Поэтому будем искать решение в натуральных числах, то есть $x \ge 1, y \ge 1, z \ge 1$.

Для решения уравнения будем подбирать значения, начав с переменной с наибольшим коэффициентом ($z$).

Так как $x \ge 1$ и $y \ge 1$, минимальная масса, перевозимая 4- и 7-тонными грузовиками, составляет $4 \cdot 1 + 7 \cdot 1 = 11$ тонн. Тогда на долю 8-тонных грузовиков остается не более $44 - 11 = 33$ тонн. Отсюда $8z \le 33$, что означает $z \le 4.125$. Следовательно, $z$ может принимать целые значения 1, 2, 3 или 4.

Рассмотрим последовательно каждый из этих случаев.

1. Если $z = 4$, уравнение принимает вид:$4x + 7y + 8(4) = 44 \implies 4x + 7y = 12$. Так как $x \ge 1$, то $7y$ должно быть меньше 12, что возможно только при $y=1$. Подставив $y=1$, получим $4x + 7 = 12$, или $4x = 5$. Это уравнение не имеет решений в целых числах.

2. Если $z = 3$, уравнение принимает вид:$4x + 7y + 8(3) = 44 \implies 4x + 7y = 20$. Так как $x \ge 1$, то $7y < 20$, что возможно при $y=1$ или $y=2$.
Если $y=1$, то $4x + 7 = 20 \implies 4x = 13$ (нет целых решений).
Если $y=2$, то $4x + 14 = 20 \implies 4x = 6$ (нет целых решений).

3. Если $z = 2$, уравнение принимает вид:$4x + 7y + 8(2) = 44 \implies 4x + 7y = 28$. Так как $x \ge 1$, то $7y < 28$, что возможно при $y=1, 2, 3$.
Если $y=1$, то $4x + 7 = 28 \implies 4x = 21$ (нет целых решений).
Если $y=2$, то $4x + 14 = 28 \implies 4x = 14$ (нет целых решений).
Если $y=3$, то $4x + 21 = 28 \implies 4x = 7$ (нет целых решений).

4. Если $z = 1$, уравнение принимает вид:$4x + 7y + 8(1) = 44 \implies 4x + 7y = 36$. Так как $x \ge 1$, то $7y < 36$, что возможно при $y=1, 2, 3, 4, 5$.
Если $y=1$, $4x = 29$ (нет целых решений).
Если $y=2$, $4x = 22$ (нет целых решений).
Если $y=3$, $4x = 15$ (нет целых решений).
Если $y=4$, $4x + 7(4) = 36 \implies 4x + 28 = 36 \implies 4x = 8 \implies x = 2$.
Мы нашли решение: $x=2, y=4, z=1$.
Если $y=5$, $4x = 1$ (нет целых решений).

Таким образом, единственное решение в натуральных числах — это 2 четырехтонных грузовика, 4 семитонных и 1 восьмитонный.

Проверка: $2 \cdot 4 \text{ т} + 4 \cdot 7 \text{ т} + 1 \cdot 8 \text{ т} = 8 \text{ т} + 28 \text{ т} + 8 \text{ т} = 44 \text{ т}$.

Ответ: для перевозки 44 т груза требуется 2 четырехтонных, 4 семитонных и 1 восьмитонный грузовик.