Номер 534, страница 98 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §15. Разность квадратов двух выражений - номер 534, страница 98.

Условие.

534. Какое из данных равенств является тождеством:

1) $-49 + b^2 = (7 - b)(7 + b);$

2) $-49 + b^2 = (b - 7)(b + 7);$

3) $-49 + b^2 = (7 - b)^2;$

4) $-49 + b^2 = (b - 49)(b + 49)?$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Тождество — это равенство, верное при любых допустимых значениях входящих в него переменных. Чтобы определить, какое из данных равенств является тождеством, мы преобразуем обе части каждого равенства и сравним их.

Левая часть всех равенств: $-49 + b^2$. Её можно переписать как $b^2 - 49$. Это выражение является разностью квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $a^2 - c^2 = (a - c)(a + c)$. В нашем случае $a=b$ и $c^2=49$, значит $c=7$.

Таким образом, левую часть можно представить в виде: $b^2 - 49 = b^2 - 7^2 = (b - 7)(b + 7)$.

Теперь проанализируем правую часть каждого из предложенных равенств.

1) $-49 + b^2 = (7 - b)(7 + b)$

Преобразуем правую часть равенства, используя формулу разности квадратов $(c-a)(c+a)=c^2-a^2$:

$(7 - b)(7 + b) = 7^2 - b^2 = 49 - b^2$

Теперь сравним левую и правую части: $b^2 - 49 = 49 - b^2$.

Это равенство не выполняется для всех значений $b$. Например, при $b=0$ получаем $-49 = 49$, что является ложным утверждением. Следовательно, данное равенство не является тождеством.

Ответ: не является тождеством.

2) $-49 + b^2 = (b - 7)(b + 7)$

Преобразуем правую часть равенства, используя формулу разности квадратов $(a-c)(a+c)=a^2-c^2$:

$(b - 7)(b + 7) = b^2 - 7^2 = b^2 - 49$

Теперь сравним левую и правую части: $b^2 - 49 = b^2 - 49$.

Левая и правая части равенства полностью совпадают. Это означает, что равенство верно при любом значении переменной $b$. Следовательно, данное равенство является тождеством.

Ответ: является тождеством.

3) $-49 + b^2 = (7 - b)^2$

Преобразуем правую часть равенства, используя формулу квадрата разности $(c-a)^2=c^2-2ca+a^2$:

$(7 - b)^2 = 7^2 - 2 \cdot 7 \cdot b + b^2 = 49 - 14b + b^2$

Теперь сравним левую и правую части: $b^2 - 49 = 49 - 14b + b^2$.

Упростив, получим: $-49 = 49 - 14b$, или $14b = 98$, что верно только при $b=7$. Так как равенство верно не для всех значений $b$, оно не является тождеством.

Ответ: не является тождеством.

4) $-49 + b^2 = (b - 49)(b + 49)$

Преобразуем правую часть равенства, используя формулу разности квадратов $(a-c)(a+c)=a^2-c^2$:

$(b - 49)(b + 49) = b^2 - 49^2 = b^2 - 2401$

Теперь сравним левую и правую части: $b^2 - 49 = b^2 - 2401$.

Упростив, получим $-49 = -2401$, что является ложным утверждением. Равенство не выполняется ни при каких значениях $b$. Следовательно, оно не является тождеством.

Ответ: не является тождеством.