Номер 531, страница 96 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §14. Произведение разности и суммы двух выражений - номер 531, страница 96.

Условие.

531. Можно ли представить в виде разности квадратов двух одночленов выражение:

1) $a^2 - 16b^2$;

2) $25c^2 + 9b^2$;

3) $100b^4 - 25c^6$;

4) $-64 + a^{10}$;

5) $-a^{12} - 49c^8$;

6) $-0,01a^4 + 0,04b^4$?

В случае утвердительного ответа запишите эту разность квадратов.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Чтобы представить выражение в виде разности квадратов двух одночленов, оно должно иметь вид $X^2 - Y^2$, где $X$ и $Y$ — одночлены. Это означает, что выражение должно состоять из двух слагаемых с разными знаками, и каждое слагаемое должно быть полным квадратом. То есть, числовые коэффициенты должны быть квадратами чисел, а показатели степени у всех переменных должны быть четными.

1) Да, выражение $a^2 - 16b^2$ можно представить в виде разности квадратов.

Первый член $a^2$ является квадратом одночлена $a$: $a^2 = (a)^2$.

Второй член $16b^2$ является квадратом одночлена $4b$, так как $16=4^2$ и $b^2=(b)^2$, следовательно $16b^2 = (4b)^2$.

Таким образом, выражение можно записать как разность квадратов: $a^2 - 16b^2 = (a)^2 - (4b)^2$.

Ответ: Да, $(a)^2 - (4b)^2$.

2) Нет, выражение $25c^2 + 9b^2$ нельзя представить в виде разности квадратов двух одночленов.

Это выражение является суммой двух квадратов: $(5c)^2 + (3b)^2$. Чтобы представить его в виде разности $X^2 - Y^2$, один из членов должен быть со знаком "плюс", а другой со знаком "минус". В данном выражении оба члена положительны.

Ответ: Нет.

3) Да, выражение $100b^4 - 25c^6$ можно представить в виде разности квадратов.

Первый член $100b^4$ является квадратом одночлена $10b^2$, так как $100=10^2$ и $b^4=(b^2)^2$, следовательно $100b^4 = (10b^2)^2$.

Второй член $25c^6$ является квадратом одночлена $5c^3$, так как $25=5^2$ и $c^6=(c^3)^2$, следовательно $25c^6 = (5c^3)^2$.

Таким образом, выражение можно записать как разность квадратов: $100b^4 - 25c^6 = (10b^2)^2 - (5c^3)^2$.

Ответ: Да, $(10b^2)^2 - (5c^3)^2$.

4) Да, выражение $-64 + a^{10}$ можно представить в виде разности квадратов.

Переставим члены местами, чтобы получить стандартный вид разности: $a^{10} - 64$.

Первый член $a^{10}$ является квадратом одночлена $a^5$, так как $a^{10}=(a^5)^2$.

Второй член $64$ является квадратом числа $8$, которое можно считать одночленом: $64 = 8^2$.

Таким образом, выражение можно записать как разность квадратов: $a^{10} - 64 = (a^5)^2 - (8)^2$.

Ответ: Да, $(a^5)^2 - (8)^2$.

5) Нет, выражение $-a^{12} - 49c^8$ нельзя представить в виде разности квадратов двух одночленов.

Оба члена выражения, $-a^{12}$ и $-49c^8$, отрицательны. В форме разности квадратов $X^2 - Y^2$ один член ($X^2$) должен быть неотрицательным. Если вынести минус за скобки, получим $-(a^{12} + 49c^8)$, что является выражением, противоположным сумме квадратов. Его нельзя представить в виде $X^2 - Y^2$, так как квадраты одночленов с действительными коэффициентами не могут быть отрицательными.

Ответ: Нет.

6) Да, выражение $-0,01a^4 + 0,04b^4$ можно представить в виде разности квадратов.

Переставим члены местами, чтобы получить стандартный вид разности: $0,04b^4 - 0,01a^4$.

Первый член $0,04b^4$ является квадратом одночлена $0,2b^2$, так как $0,04=(0,2)^2$ и $b^4=(b^2)^2$, следовательно $0,04b^4 = (0,2b^2)^2$.

Второй член $0,01a^4$ является квадратом одночлена $0,1a^2$, так как $0,01=(0,1)^2$ и $a^4=(a^2)^2$, следовательно $0,01a^4 = (0,1a^2)^2$.

Таким образом, выражение можно записать как разность квадратов: $0,04b^4 - 0,01a^4 = (0,2b^2)^2 - (0,1a^2)^2$.

Ответ: Да, $(0,2b^2)^2 - (0,1a^2)^2$.