Номер 524, страница 95 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §14. Произведение разности и суммы двух выражений - номер 524, страница 95.

Условие.

524. Сравните значения выражений, не вычисляя их:

1) $253 \cdot 259 \text{ и } 252 \cdot 260$

2) $987654^2 \text{ и } 987646 \cdot 987662$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Чтобы сравнить значения выражений $253 \cdot 259$ и $252 \cdot 260$, представим множители в каждом из них в виде суммы или разности, чтобы найти общую часть.

Первое выражение: $253 \cdot 259 = (252 + 1) \cdot 259$. Раскроем скобки: $252 \cdot 259 + 1 \cdot 259 = 252 \cdot 259 + 259$.

Второе выражение: $252 \cdot 260 = 252 \cdot (259 + 1)$. Раскроем скобки: $252 \cdot 259 + 252 \cdot 1 = 252 \cdot 259 + 252$.

Теперь сравним полученные результаты: $252 \cdot 259 + 259$ и $252 \cdot 259 + 252$.

Оба выражения имеют одинаковое слагаемое $252 \cdot 259$. Следовательно, то выражение больше, у которого второе слагаемое больше.

Сравниваем $259$ и $252$. Так как $259 > 252$, то и $252 \cdot 259 + 259 > 252 \cdot 259 + 252$.

Таким образом, $253 \cdot 259 > 252 \cdot 260$.

Ответ: $253 \cdot 259 > 252 \cdot 260$.

2) Чтобы сравнить значения выражений $987 654^2$ и $987 646 \cdot 987 662$, воспользуемся алгебраическими преобразованиями.

Первое выражение — это $987 654 \cdot 987 654$.

Рассмотрим второе выражение. Заметим, что его множители симметричны относительно числа $987 654$:

$987 646 = 987 654 - 8$

$987 662 = 987 654 + 8$

Тогда произведение можно записать в виде: $(987 654 - 8) \cdot (987 654 + 8)$.

Это выражение соответствует формуле разности квадратов: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

Применим эту формулу: $(987 654 - 8)(987 654 + 8) = 987 654^2 - 8^2 = 987 654^2 - 64$.

Теперь нам нужно сравнить $987 654^2$ и $987 654^2 - 64$.

Очевидно, что $987 654^2$ больше, чем то же число, уменьшенное на $64$.

Следовательно, $987 654^2 > 987 646 \cdot 987 662$.

Ответ: $987 654^2 > 987 646 \cdot 987 662$.