Номер 517, страница 95 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §14. Произведение разности и суммы двух выражений - номер 517, страница 95.

Условие.

517. Докажите, что значение выражения не зависит от значения переменной:

1) $(x - 9)(x + 9) - (x + 19)(x - 19);$

2) $(2a - b)(2a + b) + (b - c)(b + c) + (c - 2a)(c + 2a).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от значения переменной, необходимо его упростить. Исходное выражение: $(x - 9)(x + 9) - (x + 19)(x - 19)$.
Каждое произведение в данном выражении представляет собой произведение разности и суммы двух выражений. Для их упрощения воспользуемся формулой сокращенного умножения "разность квадратов": $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.
Применим эту формулу к первому произведению:
$(x - 9)(x + 9) = x^2 - 9^2 = x^2 - 81$.
Применим эту же формулу ко второму произведению:
$(x + 19)(x - 19) = x^2 - 19^2 = x^2 - 361$.
Теперь подставим полученные результаты обратно в исходное выражение:
$(x^2 - 81) - (x^2 - 361)$.
Раскроем скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак "минус", все знаки внутри нее изменятся на противоположные:
$x^2 - 81 - x^2 + 361$.
Теперь приведем подобные слагаемые:
$(x^2 - x^2) + (-81 + 361) = 0 + 280 = 280$.
В результате упрощения мы получили число 280, которое является константой и не зависит от значения переменной $x$. Таким образом, утверждение доказано.
Ответ: 280.

2) Рассмотрим выражение $(2a - b)(2a + b) + (b - c)(b + c) + (c - 2a)(c + 2a)$. Чтобы доказать, что его значение не зависит от переменных $a, b, c$, упростим его.
Выражение состоит из суммы трех слагаемых, каждое из которых является произведением разности и суммы двух выражений. Применим к каждому из них формулу разности квадратов: $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.
Упростим каждое слагаемое по отдельности:
Первое слагаемое: $(2a - b)(2a + b) = (2a)^2 - b^2 = 4a^2 - b^2$.
Второе слагаемое: $(b - c)(b + c) = b^2 - c^2$.
Третье слагаемое: $(c - 2a)(c + 2a) = c^2 - (2a)^2 = c^2 - 4a^2$.
Теперь сложим полученные выражения:
$(4a^2 - b^2) + (b^2 - c^2) + (c^2 - 4a^2)$.
Раскроем скобки и сгруппируем подобные члены:
$4a^2 - b^2 + b^2 - c^2 + c^2 - 4a^2 = (4a^2 - 4a^2) + (-b^2 + b^2) + (-c^2 + c^2)$.
Выполним вычисления в каждой группе:
$0 + 0 + 0 = 0$.
В результате упрощения получилось число 0. Это значение является постоянным и не зависит от того, какие значения принимают переменные $a, b$ и $c$. Таким образом, утверждение доказано.
Ответ: 0.