Номер 523, страница 95 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §14. Произведение разности и суммы двух выражений - номер 523, страница 95.

Условие.

523. Сравните значения выражений, не вычисляя их:

1) $415 \cdot 425$ и $426 \cdot 414$;

2) $1234567 \cdot 1234569$ и $1234568^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1)

Сравним произведения $415 \cdot 425$ и $426 \cdot 414$.

Для сравнения этих выражений, не прибегая к прямому вычислению, можно представить числа в каждом произведении относительно некоторого среднего значения и использовать алгебраические формулы. В данном случае удобно использовать формулу разности квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

Рассмотрим первое произведение: $415 \cdot 425$. Представим множители относительно числа 420:

$415 \cdot 425 = (420 - 5) \cdot (420 + 5)$

Применив формулу разности квадратов, получим:

$(420 - 5) \cdot (420 + 5) = 420^2 - 5^2 = 420^2 - 25$

Теперь рассмотрим второе произведение: $426 \cdot 414$. Его также можно представить относительно числа 420:

$426 \cdot 414 = (420 + 6) \cdot (420 - 6)$

Применив ту же формулу, получим:

$(420 + 6) \cdot (420 - 6) = 420^2 - 6^2 = 420^2 - 36$

Теперь сравним полученные выражения: $420^2 - 25$ и $420^2 - 36$.

Поскольку из одного и того же числа ($420^2$) в первом случае вычитается меньшее число ($25$), а во втором — большее ($36$), то результат первого вычитания будет больше.

Так как $25 < 36$, то $420^2 - 25 > 420^2 - 36$.

Следовательно, $415 \cdot 425 > 426 \cdot 414$.

Ответ: $415 \cdot 425 > 426 \cdot 414$.

2)

Сравним выражения $1\,234\,567 \cdot 1\,234\,569$ и $1\,234\,568^2$.

В этом случае также удобно воспользоваться формулой разности квадратов. Обозначим $a = 1\,234\,568$.

Тогда первое выражение можно записать следующим образом:

$1\,234\,567 \cdot 1\,234\,569 = (1\,234\,568 - 1) \cdot (1\,234\,568 + 1) = (a - 1)(a + 1)$

Используя формулу разности квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$, получаем:

$(a - 1)(a + 1) = a^2 - 1^2 = a^2 - 1$

Второе выражение — это $1\,234\,568^2$, что в наших обозначениях равно $a^2$.

Теперь нам нужно сравнить $a^2 - 1$ и $a^2$.

Очевидно, что $a^2 - 1$ на единицу меньше, чем $a^2$. Таким образом, $a^2 - 1 < a^2$.

Возвращаясь к исходным числам, мы можем заключить, что:

$1\,234\,567 \cdot 1\,234\,569 < 1\,234\,568^2$.

Ответ: $1\,234\,567 \cdot 1\,234\,569 < 1\,234\,568^2$.