Номер 518, страница 95 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §14. Произведение разности и суммы двух выражений - номер 518, страница 95.

Условие.

518. Докажите, что при любом натуральном $n$ значение выражения $(7n + 8)(7n - 8) - (5n + 10)(5n - 10)$ делится нацело на 12.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Чтобы доказать, что значение выражения делится нацело на 12 при любом натуральном $n$, необходимо упростить данное выражение. Воспользуемся формулой разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.

Применим эту формулу к обеим частям выражения:

$(7n + 8)(7n - 8) = (7n)^2 - 8^2 = 49n^2 - 64$

$(5n + 10)(5n - 10) = (5n)^2 - 10^2 = 25n^2 - 100$

Теперь подставим полученные результаты в исходное выражение:

$(49n^2 - 64) - (25n^2 - 100)$

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

$49n^2 - 64 - 25n^2 + 100 = (49n^2 - 25n^2) + (100 - 64) = 24n^2 + 36$

Теперь нужно доказать, что выражение $24n^2 + 36$ делится на 12. Для этого вынесем общий множитель 12 за скобки:

$24n^2 + 36 = 12 \cdot 2n^2 + 12 \cdot 3 = 12(2n^2 + 3)$

По условию $n$ — натуральное число. Значит, $n^2$ — также натуральное число. Тогда выражение в скобках $(2n^2 + 3)$ всегда будет натуральным числом. Поскольку всё выражение представлено в виде произведения, где один из множителей равен 12, то оно всегда будет делиться нацело на 12.

Ответ: Утверждение доказано.