Номер 521, страница 95 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §14. Произведение разности и суммы двух выражений - номер 521, страница 95.

Условие.

521. Найдите значение выражения:

1) $3^{20} \cdot 6^{20} - (18^{10} - 2)(18^{10} + 2);$

2) $(5 + 28^{17})(5 - 28^{17}) + 14^{34} \cdot 2^{34};$

3) $7^{36} \cdot 8^{12} - (14^{18} + 3)(14^{18} - 3);$

4) $(3^2 - 1)(3^2 + 1)(3^4 + 1)(3^8 + 1)(3^{16} + 1)(3^{32} + 1) - 3^{64};$

5) $(2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1) - 2^{32}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) $3^{20} \cdot 6^{20} - (18^{10} - 2)(18^{10} + 2)$

Сначала преобразуем первую часть выражения, используя свойство степеней $a^n \cdot b^n = (ab)^n$:
$3^{20} \cdot 6^{20} = (3 \cdot 6)^{20} = 18^{20}$.

Теперь преобразуем вторую часть, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a = 18^{10}$ и $b=2$:
$(18^{10} - 2)(18^{10} + 2) = (18^{10})^2 - 2^2$.

Используя свойство степеней $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:
$(18^{10})^2 - 2^2 = 18^{10 \cdot 2} - 4 = 18^{20} - 4$.

Теперь подставим полученные результаты в исходное выражение:
$18^{20} - (18^{20} - 4) = 18^{20} - 18^{20} + 4 = 4$.

Ответ: 4

2) $(5 + 28^{17})(5 - 28^{17}) + 14^{34} \cdot 2^{34}$

Рассмотрим первую часть выражения. Это формула разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, где $a=5$ и $b=28^{17}$:
$(5 + 28^{17})(5 - 28^{17}) = 5^2 - (28^{17})^2 = 25 - 28^{17 \cdot 2} = 25 - 28^{34}$.

Теперь рассмотрим вторую часть выражения. Используем свойство степеней $a^n \cdot b^n = (ab)^n$:
$14^{34} \cdot 2^{34} = (14 \cdot 2)^{34} = 28^{34}$.

Подставим все в исходное выражение:
$(25 - 28^{34}) + 28^{34} = 25 - 28^{34} + 28^{34} = 25$.

Ответ: 25

3) $7^{36} \cdot 8^{12} - (14^{18} + 3)(14^{18} - 3)$

Преобразуем первую часть выражения. Представим $8$ как $2^3$:
$8^{12} = (2^3)^{12} = 2^{3 \cdot 12} = 2^{36}$.

Тогда первая часть выражения станет:
$7^{36} \cdot 2^{36} = (7 \cdot 2)^{36} = 14^{36}$.

Вторая часть выражения является разностью квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, где $a=14^{18}$ и $b=3$:
$(14^{18} + 3)(14^{18} - 3) = (14^{18})^2 - 3^2 = 14^{18 \cdot 2} - 9 = 14^{36} - 9$.

Подставим полученные значения в исходное выражение:
$14^{36} - (14^{36} - 9) = 14^{36} - 14^{36} + 9 = 9$.

Ответ: 9

4) $(3^2 - 1)(3^2 + 1)(3^4 + 1)(3^8 + 1)(3^{16} + 1)(3^{32} + 1) - 3^{64}$

Будем последовательно применять формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.
1. $(3^2 - 1)(3^2 + 1) = (3^2)^2 - 1^2 = 3^4 - 1$.
2. Полученное выражение $(3^4 - 1)$ умножаем на следующий множитель:
$(3^4 - 1)(3^4 + 1) = (3^4)^2 - 1^2 = 3^8 - 1$.
3. Продолжаем по аналогии:
$(3^8 - 1)(3^8 + 1) = 3^{16} - 1$.
4. $(3^{16} - 1)(3^{16} + 1) = 3^{32} - 1$.
5. $(3^{32} - 1)(3^{32} + 1) = 3^{64} - 1$.

Таким образом, все произведение равно $3^{64} - 1$. Подставим это в исходное выражение:
$(3^{64} - 1) - 3^{64} = 3^{64} - 1 - 3^{64} = -1$.

Ответ: -1

5) $(2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1) - 2^{32}$

Для упрощения произведения умножим его на $(2-1)$. Так как $(2-1)=1$, значение выражения не изменится.
$(2 - 1)(2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1) - 2^{32}$.

Теперь в произведении можно последовательно применять формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.
1. $(2 - 1)(2 + 1) = 2^2 - 1$.
2. $(2^2 - 1)(2^2 + 1) = (2^2)^2 - 1^2 = 2^4 - 1$.
3. $(2^4 - 1)(2^4 + 1) = 2^8 - 1$.
4. $(2^8 - 1)(2^8 + 1) = 2^{16} - 1$.
5. $(2^{16} - 1)(2^{16} + 1) = 2^{32} - 1$.

Таким образом, все произведение равно $2^{32} - 1$. Подставим это в исходное выражение:
$(2^{32} - 1) - 2^{32} = 2^{32} - 1 - 2^{32} = -1$.

Ответ: -1