Номер 520, страница 95 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §14. Произведение разности и суммы двух выражений - номер 520, страница 95.

Условие.

520. Докажите, что при любом натуральном $n$ значение выражения $(9n - 4)(9n + 4) - (8n - 2)(4n + 3) + 5(6n + 9)$ делится нацело на 7.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для того чтобы доказать, что значение выражения делится нацело на 7 при любом натуральном $n$, необходимо упростить данное выражение.

1. Раскроем скобки в каждом слагаемом. Первое произведение $(9n - 4)(9n + 4)$ является разностью квадратов, которую можно раскрыть по формуле $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$(9n - 4)(9n + 4) = (9n)^2 - 4^2 = 81n^2 - 16$

2. Раскроем произведение во втором слагаемом:

$-(8n - 2)(4n + 3) = -(8n \cdot 4n + 8n \cdot 3 - 2 \cdot 4n - 2 \cdot 3) = -(32n^2 + 24n - 8n - 6) = -(32n^2 + 16n - 6) = -32n^2 - 16n + 6$

3. Раскроем скобки в третьем слагаемом:

$5(6n + 9) = 5 \cdot 6n + 5 \cdot 9 = 30n + 45$

4. Теперь сложим все полученные выражения:

$(81n^2 - 16) + (-32n^2 - 16n + 6) + (30n + 45)$

5. Приведем подобные слагаемые:

$81n^2 - 16 - 32n^2 - 16n + 6 + 30n + 45 = (81n^2 - 32n^2) + (-16n + 30n) + (-16 + 6 + 45) = 49n^2 + 14n + 35$

6. В полученном выражении $49n^2 + 14n + 35$ вынесем общий множитель 7 за скобки:

$49n^2 + 14n + 35 = 7 \cdot 7n^2 + 7 \cdot 2n + 7 \cdot 5 = 7(7n^2 + 2n + 5)$

Поскольку $n$ — натуральное число, то $n^2$ также является натуральным числом. Значит, выражение в скобках $(7n^2 + 2n + 5)$ всегда будет целым числом. Так как исходное выражение можно представить в виде произведения числа 7 на целое число, оно делится на 7 без остатка при любом натуральном $n$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Выражение тождественно равно $7(7n^2 + 2n + 5)$, что доказывает его делимость на 7 при любом натуральном $n$.