Номер 513, страница 94 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §14. Произведение разности и суммы двух выражений - номер 513, страница 94.

Условие.

513. Упростите выражение:

1) $(8a - 3)(8a + 3) - (7a + 4)(8a - 4);$

2) $0,6m(2m - 1)(2m + 1) + 0,3(6 + 5m)(6 - 5m);$

3) $(7 - 2x)(7 + 2x) - (x - 8)(x + 8) - (4 - 3x)(5 + 3x);$

4) $-b^2c(4b - c^2)(4b + c^2) + 16b^4c.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Для упрощения выражения $(8a - 3)(8a + 3) - (7a + 4)(8a - 4)$ воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ для первого произведения и правилом умножения многочленов для второго.

Первое произведение: $(8a - 3)(8a + 3) = (8a)^2 - 3^2 = 64a^2 - 9$.

Второе произведение: $(7a + 4)(8a - 4) = 7a \cdot 8a - 7a \cdot 4 + 4 \cdot 8a - 4 \cdot 4 = 56a^2 - 28a + 32a - 16 = 56a^2 + 4a - 16$.

Теперь вычтем второе из первого:

$(64a^2 - 9) - (56a^2 + 4a - 16) = 64a^2 - 9 - 56a^2 - 4a + 16$.

Приведем подобные слагаемые:

$(64a^2 - 56a^2) - 4a + (-9 + 16) = 8a^2 - 4a + 7$.

Ответ: $8a^2 - 4a + 7$

2) Для упрощения выражения $0,6m(2m - 1)(2m + 1) + 0,3(6 + 5m)(6 - 5m)$ в обоих слагаемых применим формулу разности квадратов.

Упростим произведение $(2m - 1)(2m + 1) = (2m)^2 - 1^2 = 4m^2 - 1$.

Упростим произведение $(6 + 5m)(6 - 5m) = 6^2 - (5m)^2 = 36 - 25m^2$.

Подставим полученные выражения в исходное:

$0,6m(4m^2 - 1) + 0,3(36 - 25m^2)$.

Раскроем скобки:

$0,6m \cdot 4m^2 - 0,6m \cdot 1 + 0,3 \cdot 36 - 0,3 \cdot 25m^2 = 2,4m^3 - 0,6m + 10,8 - 7,5m^2$.

Запишем многочлен в стандартном виде:

$2,4m^3 - 7,5m^2 - 0,6m + 10,8$.

Ответ: $2,4m^3 - 7,5m^2 - 0,6m + 10,8$

3) Для упрощения выражения $(7 - 2x)(7 + 2x) - (x - 8)(x + 8) - (4 - 3x)(5 + 3x)$ используем формулу разности квадратов для первых двух произведений и раскроем скобки для третьего.

$(7^2 - (2x)^2) - (x^2 - 8^2) - (4 \cdot 5 + 4 \cdot 3x - 3x \cdot 5 - 3x \cdot 3x)$

$(49 - 4x^2) - (x^2 - 64) - (20 + 12x - 15x - 9x^2)$

$(49 - 4x^2) - (x^2 - 64) - (20 - 3x - 9x^2)$

Раскроем скобки, учитывая знаки:

$49 - 4x^2 - x^2 + 64 - 20 + 3x + 9x^2$

Приведем подобные слагаемые:

$(-4x^2 - x^2 + 9x^2) + 3x + (49 + 64 - 20) = 4x^2 + 3x + 93$.

Ответ: $4x^2 + 3x + 93$

4) Для упрощения выражения $-b^2c(4b - c^2)(4b + c^2) + 16b^4c$ применим формулу разности квадратов к произведению в скобках.

$(4b - c^2)(4b + c^2) = (4b)^2 - (c^2)^2 = 16b^2 - c^4$.

Подставим результат в исходное выражение:

$-b^2c(16b^2 - c^4) + 16b^4c$.

Раскроем скобки:

$-b^2c \cdot 16b^2 - b^2c \cdot (-c^4) + 16b^4c = -16b^{2+2}c + b^2c^{1+4} + 16b^4c = -16b^4c + b^2c^5 + 16b^4c$.

Приведем подобные слагаемые:

$(-16b^4c + 16b^4c) + b^2c^5 = 0 + b^2c^5 = b^2c^5$.

Ответ: $b^2c^5$