Номер 512, страница 94 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §14. Произведение разности и суммы двух выражений - номер 512, страница 94.

Условие.

512. Выполните умножение двучленов ($n$ – натуральное число):

1) $(a^n - 4)(a^n + 4)$;

2) $(b^{2n} + c^{3n})(b^{2n} - c^{3n})$;

3) $(x^{4n} + y^{n+2})(y^{n+2} - x^{4n})$;

4) $(a^{n+1} - b^{n-1})(a^{n+1} + b^{n-1})$, $n > 1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Данное выражение является произведением разности и суммы двух выражений, поэтому для его упрощения воспользуемся формулой сокращённого умножения "разность квадратов": $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.

В нашем случае $x = a^n$ и $y = 4$. Подставив эти значения в формулу, получаем:

$(a^n - 4)(a^n + 4) = (a^n)^2 - 4^2 = a^{2n} - 16$.

Ответ: $a^{2n} - 16$

2) Это выражение также представляет собой произведение суммы и разности двух выражений. Применим ту же формулу разности квадратов $(x + y)(x - y) = x^2 - y^2$.

Здесь $x = b^{2n}$ и $y = c^{3n}$. Выполним подстановку и воспользуемся свойством степени $(x^m)^k = x^{mk}$:

$(b^{2n} + c^{3n})(b^{2n} - c^{3n}) = (b^{2n})^2 - (c^{3n})^2 = b^{2n \cdot 2} - c^{3n \cdot 2} = b^{4n} - c^{6n}$.

Ответ: $b^{4n} - c^{6n}$

3) Чтобы привести выражение $(x^{4n} + y^{n+2})(y^{n+2} - x^{4n})$ к стандартному виду формулы разности квадратов, воспользуемся переместительным свойством сложения в первом множителе: $(x^{4n} + y^{n+2}) = (y^{n+2} + x^{4n})$.

Теперь выражение имеет вид $(A+B)(A-B)$, где $A = y^{n+2}$ и $B = x^{4n}$. Применим формулу разности квадратов:

$(y^{n+2} + x^{4n})(y^{n+2} - x^{4n}) = (y^{n+2})^2 - (x^{4n})^2 = y^{2(n+2)} - x^{2(4n)} = y^{2n+4} - x^{8n}$.

Ответ: $y^{2n+4} - x^{8n}$

4) Выражение $(a^{n+1} - b^{n-1})(a^{n+1} + b^{n-1})$ снова является произведением разности и суммы. Используем формулу разности квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.

В данном случае $x = a^{n+1}$ и $y = b^{n-1}$. Применяем формулу:

$(a^{n+1} - b^{n-1})(a^{n+1} + b^{n-1}) = (a^{n+1})^2 - (b^{n-1})^2 = a^{2(n+1)} - b^{2(n-1)} = a^{2n+2} - b^{2n-2}$.

Условие $n > 1$ (а значит $n \geq 2$, так как $n$ натуральное) гарантирует, что показатель степени $n-1$ является натуральным числом ($n-1 \geq 1$).

Ответ: $a^{2n+2} - b^{2n-2}$