Номер 505, страница 94 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §14. Произведение разности и суммы двух выражений - номер 505, страница 94.

Условие.

505. Упростите выражение:

1) $(9a-2)(9a+2)-18a^2$;

2) $25m^2-(5m-7)(5m+7)$;

3) $(b+7)(b-4)+(2b-6)(2b+6)$;

4) $4x(3x-10y)-(4x+y)(4x-y)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) $(9a-2)(9a+2)-18a^2$

Для упрощения произведения $(9a-2)(9a+2)$ воспользуемся формулой разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.

В данном случае $x=9a$ и $y=2$.

$(9a-2)(9a+2) = (9a)^2 - 2^2 = 81a^2 - 4$.

Теперь подставим полученное выражение в исходное:

$(81a^2 - 4) - 18a^2 = 81a^2 - 4 - 18a^2$.

Приведем подобные слагаемые:

$81a^2 - 18a^2 - 4 = (81-18)a^2 - 4 = 63a^2 - 4$.

Ответ: $63a^2 - 4$.

2) $25m^2 - (5m-7)(5m+7)$

Выражение $(5m-7)(5m+7)$ также упрощается с помощью формулы разности квадратов.

$(5m-7)(5m+7) = (5m)^2 - 7^2 = 25m^2 - 49$.

Подставим результат в исходное выражение:

$25m^2 - (25m^2 - 49)$.

Раскроем скобки. Так как перед скобками стоит знак минус, знаки слагаемых внутри скобок меняются на противоположные:

$25m^2 - 25m^2 + 49$.

Приведем подобные слагаемые:

$(25m^2 - 25m^2) + 49 = 0 + 49 = 49$.

Ответ: $49$.

3) $(b+7)(b-4) + (2b-6)(2b+6)$

Упростим выражение по частям. Сначала раскроем первые скобки, перемножив многочлены:

$(b+7)(b-4) = b \cdot b + b \cdot (-4) + 7 \cdot b + 7 \cdot (-4) = b^2 - 4b + 7b - 28 = b^2 + 3b - 28$.

Теперь упростим вторую часть, $(2b-6)(2b+6)$, используя формулу разности квадратов:

$(2b-6)(2b+6) = (2b)^2 - 6^2 = 4b^2 - 36$.

Сложим полученные выражения:

$(b^2 + 3b - 28) + (4b^2 - 36) = b^2 + 3b - 28 + 4b^2 - 36$.

Приведем подобные слагаемые:

$(b^2 + 4b^2) + 3b + (-28 - 36) = 5b^2 + 3b - 64$.

Ответ: $5b^2 + 3b - 64$.

4) $4x(3x-10y) - (4x+y)(4x-y)$

Упростим выражение по частям. Раскроем первые скобки, умножив $4x$ на каждый член в скобках:

$4x(3x-10y) = 4x \cdot 3x - 4x \cdot 10y = 12x^2 - 40xy$.

Вторую часть, $(4x+y)(4x-y)$, упростим по формуле разности квадратов:

$(4x+y)(4x-y) = (4x)^2 - y^2 = 16x^2 - y^2$.

Теперь вычтем второе упрощенное выражение из первого:

$(12x^2 - 40xy) - (16x^2 - y^2) = 12x^2 - 40xy - 16x^2 + y^2$.

Приведем подобные слагаемые:

$(12x^2 - 16x^2) - 40xy + y^2 = -4x^2 - 40xy + y^2$.

Ответ: $-4x^2 - 40xy + y^2$.