Номер 504, страница 94 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §14. Произведение разности и суммы двух выражений - номер 504, страница 94.

Условие.

504. Упростите выражение:

1) $(2a - b)(2a + b) + b^2;$

2) $10x^2 + (y - 5x)(y + 5x);$

3) $64m^2 - (8m + 9)(8m - 9);$

4) $(4x - 7y)(4x + 7y) + (7x - 4y)(7x + 4y);$

5) $(a - 2)(a + 3) + (6 - a)(a + 6);$

6) $3a(a - b) - (3a + 2b)(3a - 2b).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) $(2a - b)(2a + b) + b^2$

Для упрощения произведения $(2a - b)(2a + b)$ воспользуемся формулой разности квадратов: $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$. В данном случае $x = 2a$ и $y = b$.

$(2a - b)(2a + b) = (2a)^2 - b^2 = 4a^2 - b^2$

Теперь подставим полученное выражение в исходное:

$(4a^2 - b^2) + b^2 = 4a^2 - b^2 + b^2$

Приводим подобные слагаемые:

$4a^2 + (-b^2 + b^2) = 4a^2 + 0 = 4a^2$

Ответ: $4a^2$

2) $10x^2 + (y - 5x)(y + 5x)$

Выражение $(y - 5x)(y + 5x)$ также является разностью квадратов, где $x$ из формулы это $y$, а $y$ из формулы это $5x$.

$(y - 5x)(y + 5x) = y^2 - (5x)^2 = y^2 - 25x^2$

Подставляем результат в исходное выражение:

$10x^2 + (y^2 - 25x^2) = 10x^2 + y^2 - 25x^2$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$y^2 + (10x^2 - 25x^2) = y^2 - 15x^2$

Ответ: $y^2 - 15x^2$

3) $64m^2 - (8m + 9)(8m - 9)$

Упростим выражение в скобках, используя формулу разности квадратов:

$(8m + 9)(8m - 9) = (8m)^2 - 9^2 = 64m^2 - 81$

Теперь подставим это в исходное выражение. Важно учесть знак минус перед скобками, который меняет знаки всех членов внутри скобок на противоположные.

$64m^2 - (64m^2 - 81) = 64m^2 - 64m^2 + 81$

Приводим подобные слагаемые:

$(64m^2 - 64m^2) + 81 = 0 + 81 = 81$

Ответ: $81$

4) $(4x - 7y)(4x + 7y) + (7x - 4y)(7x + 4y)$

Это выражение представляет собой сумму двух произведений, каждое из которых является разностью квадратов.

Упростим первое произведение:

$(4x - 7y)(4x + 7y) = (4x)^2 - (7y)^2 = 16x^2 - 49y^2$

Упростим второе произведение:

$(7x - 4y)(7x + 4y) = (7x)^2 - (4y)^2 = 49x^2 - 16y^2$

Теперь сложим полученные результаты:

$(16x^2 - 49y^2) + (49x^2 - 16y^2) = 16x^2 - 49y^2 + 49x^2 - 16y^2$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(16x^2 + 49x^2) + (-49y^2 - 16y^2) = 65x^2 - 65y^2$

Ответ: $65x^2 - 65y^2$

5) $(a - 2)(a + 3) + (6 - a)(a + 6)$

Раскроем скобки в каждом слагаемом. Для первого слагаемого выполним умножение многочленов:

$(a - 2)(a + 3) = a \cdot a + a \cdot 3 - 2 \cdot a - 2 \cdot 3 = a^2 + 3a - 2a - 6 = a^2 + a - 6$

Второе слагаемое $(6 - a)(a + 6)$ можно представить как $(6 - a)(6 + a)$, что является формулой разности квадратов:

$(6 - a)(6 + a) = 6^2 - a^2 = 36 - a^2$

Сложим полученные выражения:

$(a^2 + a - 6) + (36 - a^2) = a^2 + a - 6 + 36 - a^2$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(a^2 - a^2) + a + (-6 + 36) = 0 + a + 30 = a + 30$

Ответ: $a + 30$

6) $3a(a - b) - (3a + 2b)(3a - 2b)$

Упростим каждую часть выражения по отдельности.

Раскроем скобки в первой части: $3a(a - b) = 3a^2 - 3ab$.

Вторая часть является разностью квадратов:

$(3a + 2b)(3a - 2b) = (3a)^2 - (2b)^2 = 9a^2 - 4b^2$

Подставим упрощенные части в исходное выражение:

$(3a^2 - 3ab) - (9a^2 - 4b^2) = 3a^2 - 3ab - 9a^2 + 4b^2$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(3a^2 - 9a^2) - 3ab + 4b^2 = -6a^2 - 3ab + 4b^2$

Ответ: $-6a^2 - 3ab + 4b^2$