Номер 510, страница 94 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §14. Произведение разности и суммы двух выражений - номер 510, страница 94.

Условие.

510. Представьте в виде многочлена выражение:

1) $a(a - 2)(a + 2);$

2) $-3(x + 3)(x - 3);$

3) $7b^2(b + 4)(4 - b);$

4) $(c - d)(c + d)(c^2 + d^2);$

5) $(2a - 1)(2a + 1)(4a^2 + 1);$

6) $(c^3 - 5)(c^3 + 5)(c^6 + 25).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Чтобы представить выражение $a(a - 2)(a + 2)$ в виде многочлена, сначала воспользуемся формулой разности квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$ для произведения скобок $(a - 2)(a + 2)$.

$(a - 2)(a + 2) = a^2 - 2^2 = a^2 - 4$.

Теперь умножим полученный двучлен на $a$:

$a(a^2 - 4) = a \cdot a^2 - a \cdot 4 = a^3 - 4a$.

Ответ: $a^3 - 4a$.

2) В выражении $-3(x + 3)(x - 3)$ сначала преобразуем произведение $(x + 3)(x - 3)$, используя формулу разности квадратов.

$(x + 3)(x - 3) = x^2 - 3^2 = x^2 - 9$.

Далее умножим полученный результат на $-3$:

$-3(x^2 - 9) = -3 \cdot x^2 - 3 \cdot (-9) = -3x^2 + 27$.

Ответ: $-3x^2 + 27$.

3) Для выражения $7b^2(b + 4)(4 - b)$ сначала преобразуем произведение скобок. Заметим, что $(b + 4)(4 - b)$ можно записать как $(4 + b)(4 - b)$, что соответствует формуле разности квадратов.

$(4 + b)(4 - b) = 4^2 - b^2 = 16 - b^2$.

Теперь умножим полученное выражение на $7b^2$:

$7b^2(16 - b^2) = 7b^2 \cdot 16 - 7b^2 \cdot b^2 = 112b^2 - 7b^4$.

Ответ: $112b^2 - 7b^4$.

4) В выражении $(c - d)(c + d)(c^2 + d^2)$ последовательно применим формулу разности квадратов.

Сначала для первых двух скобок: $(c - d)(c + d) = c^2 - d^2$.

Теперь выражение принимает вид: $(c^2 - d^2)(c^2 + d^2)$.

Это снова разность квадратов, где в роли переменных выступают $c^2$ и $d^2$:

$(c^2 - d^2)(c^2 + d^2) = (c^2)^2 - (d^2)^2 = c^4 - d^4$.

Ответ: $c^4 - d^4$.

5) Выражение $(2a - 1)(2a + 1)(4a^2 + 1)$ преобразуется аналогично предыдущему примеру.

Сначала произведение первых двух скобок: $(2a - 1)(2a + 1) = (2a)^2 - 1^2 = 4a^2 - 1$.

Получаем выражение: $(4a^2 - 1)(4a^2 + 1)$.

Снова применяем формулу разности квадратов:

$(4a^2 - 1)(4a^2 + 1) = (4a^2)^2 - 1^2 = 16a^4 - 1$.

Ответ: $16a^4 - 1$.

6) В выражении $(c^3 - 5)(c^3 + 5)(c^6 + 25)$ действуем по тому же принципу.

Сначала преобразуем произведение $(c^3 - 5)(c^3 + 5)$:

$(c^3 - 5)(c^3 + 5) = (c^3)^2 - 5^2 = c^6 - 25$.

Теперь выражение выглядит так: $(c^6 - 25)(c^6 + 25)$.

Применяем формулу разности квадратов ещё раз:

$(c^6 - 25)(c^6 + 25) = (c^6)^2 - 25^2 = c^{12} - 625$.

Ответ: $c^{12} - 625$.