Номер 509, страница 94 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §14. Произведение разности и суммы двух выражений - номер 509, страница 94.

Условие.

509. Подставьте вместо звёздочек такие одночлены, чтобы выполнялось тождество:

1) $(8a^2b - *)(8a^2b + *) = * - 25c^6;$

2) $(* - \frac{1}{12} x^4 y^5)(\frac{1}{15} a^2 + *) = \frac{1}{225} a^4 - \frac{1}{144} x^8 y^{10}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1)

Данное тождество $(8a^2b - *)(8a^2b + *) = * - 25c^6$ представляет собой формулу разности квадратов: $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.

В левой части выражения $(8a^2b - *)(8a^2b + *)$ одночлен $8a^2b$ соответствует $x$ в формуле. Одночлен, который нужно подставить вместо звёздочек в скобках, соответствует $y$.

Правая часть выражения $* - 25c^6$ соответствует $x^2 - y^2$. Отсюда мы можем определить $y^2$ и $x^2$.

Сравнивая $-25c^6$ с $-y^2$, получаем $y^2 = 25c^6$. Найдём $y$, извлекая квадратный корень: $y = \sqrt{25c^6} = 5c^3$. Следовательно, в скобках вместо звёздочек нужно подставить одночлен $5c^3$.

Звёздочка в правой части выражения соответствует $x^2$. Поскольку $x = 8a^2b$, то $x^2 = (8a^2b)^2 = 8^2 \cdot (a^2)^2 \cdot b^2 = 64a^4b^2$.

Таким образом, искомое тождество выглядит так: $(8a^2b - 5c^3)(8a^2b + 5c^3) = 64a^4b^2 - 25c^6$.

Ответ: $(8a^2b - 5c^3)(8a^2b + 5c^3) = 64a^4b^2 - 25c^6$.

2)

В этом тождестве $(* - \frac{1}{12}x^4y^5)(\frac{1}{15}a^2 + *) = \frac{1}{225}a^4 - \frac{1}{144}x^8y^{10}$ также используется формула разности квадратов.

Рассмотрим правую часть тождества: $\frac{1}{225}a^4 - \frac{1}{144}x^8y^{10}$. Её можно представить в виде $A^2 - B^2$:

• $A^2 = \frac{1}{225}a^4 = (\frac{1}{15}a^2)^2$, следовательно $A = \frac{1}{15}a^2$.
• $B^2 = \frac{1}{144}x^8y^{10} = (\frac{1}{12}x^4y^5)^2$, следовательно $B = \frac{1}{12}x^4y^5$.

Согласно формуле разности квадратов, $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$. Подставив наши $A$ и $B$, получаем: $(\frac{1}{15}a^2 - \frac{1}{12}x^4y^5)(\frac{1}{15}a^2 + \frac{1}{12}x^4y^5)$.

Теперь сравним это выражение с левой частью исходного тождества: $(* - \frac{1}{12}x^4y^5)(\frac{1}{15}a^2 + *)$. Пусть первая звёздочка — это $M_1$, а вторая — $M_2$. Тогда левая часть имеет вид $(M_1 - B)(A + M_2)$.

Приравнивая множители, получаем систему:

• $M_1 - \frac{1}{12}x^4y^5 = \frac{1}{15}a^2 - \frac{1}{12}x^4y^5$
• $\frac{1}{15}a^2 + M_2 = \frac{1}{15}a^2 + \frac{1}{12}x^4y^5$

Из первого уравнения находим $M_1 = \frac{1}{15}a^2$. Из второго уравнения находим $M_2 = \frac{1}{12}x^4y^5$.

Таким образом, первая звёздочка — это $\frac{1}{15}a^2$, а вторая — $\frac{1}{12}x^4y^5$.

Ответ: $(\frac{1}{15}a^2 - \frac{1}{12}x^4y^5)(\frac{1}{15}a^2 + \frac{1}{12}x^4y^5) = \frac{1}{225}a^4 - \frac{1}{144}x^8y^{10}$.