Номер 508, страница 94 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §14. Произведение разности и суммы двух выражений - номер 508, страница 94.

Условие.

508. Какие одночлены надо подставить вместо звездочек, чтобы выполнялось тождество:

1) $(* - 12a)(* + *) = 9b^2 - *;$

2) $(* - 5c)(* + 5c) = 16d^2 - *;$

3) $(0.7p + *)(* - 0.7p) = \frac{1}{9} m^8 - 0.49p^2;$

4) $(3m^2 + *)(* - *) = 9m^4 - n^6?$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для решения всех пунктов используется формула разности квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

1)

Исходное тождество: $(* - 12a)(* + *) = 9b^2 - *$.

Левая часть выражения является произведением разности и суммы. Сравнивая её с формулой $(a-b)(a+b)$, мы можем определить, что $b = 12a$. Следовательно, вторая скобка должна иметь вид $(* + 12a)$.

Правая часть тождества, $9b^2 - *$, соответствует $a^2 - b^2$. Отсюда следует, что $a^2 = 9b^2$. Находим $a$, извлекая квадратный корень: $a = \sqrt{9b^2} = 3b$.

Теперь мы можем заполнить первые звёздочки в обеих скобках одночленом $3b$. Левая часть примет вид $(3b - 12a)(3b + 12a)$.

Последняя звёздочка в правой части соответствует $b^2$. Поскольку $b = 12a$, то $b^2 = (12a)^2 = 144a^2$.

В итоге получаем тождество: $(3b - 12a)(3b + 12a) = 9b^2 - 144a^2$.

Ответ: $(3b - 12a)(3b + 12a) = 9b^2 - 144a^2$.

2)

Исходное тождество: $(* - 5c)(* + 5c) = 16d^2 - *$.

Левая часть $(* - 5c)(* + 5c)$ полностью соответствует виду $(a-b)(a+b)$, где $b=5c$. Звёздочки в скобках соответствуют $a$.

Правая часть $16d^2 - *$ должна быть равна $a^2 - b^2$. Отсюда $a^2 = 16d^2$, а значит $a = \sqrt{16d^2} = 4d$.

Подставляем $a=4d$ вместо звёздочек в левой части: $(4d - 5c)(4d + 5c)$.

Последняя звёздочка в правой части соответствует $b^2$. Так как $b = 5c$, получаем $b^2 = (5c)^2 = 25c^2$.

В итоге получаем тождество: $(4d - 5c)(4d + 5c) = 16d^2 - 25c^2$.

Ответ: $(4d - 5c)(4d + 5c) = 16d^2 - 25c^2$.

3)

Исходное тождество: $(0,7p + *)(* - 0,7p) = \frac{1}{9}m^8 - 0,49p^2$.

Левую часть можно записать в виде $(* + 0,7p)(* - 0,7p)$, что соответствует формуле $(a+b)(a-b)$, где $b = 0,7p$. Звёздочки соответствуют $a$.

Правая часть тождества равна $a^2 - b^2$. Проверим второе слагаемое: $b^2 = (0,7p)^2 = 0,49p^2$, что совпадает с заданным.

Первое слагаемое в правой части, $\frac{1}{9}m^8$, должно быть равно $a^2$. Следовательно, $a^2 = \frac{1}{9}m^8$.

Находим $a$: $a = \sqrt{\frac{1}{9}m^8} = \frac{1}{3}m^4$.

Подставляем $a = \frac{1}{3}m^4$ вместо звёздочек в левую часть.

В итоге получаем тождество: $(0,7p + \frac{1}{3}m^4)(\frac{1}{3}m^4 - 0,7p) = \frac{1}{9}m^8 - 0,49p^2$.

Ответ: $(0,7p + \frac{1}{3}m^4)(\frac{1}{3}m^4 - 0,7p) = \frac{1}{9}m^8 - 0,49p^2$.

4)

Исходное тождество: $(3m^2 + *)(* - *) = 9m^4 - n^6$.

Сравниваем левую часть с формулой $(a+b)(a-b)$. Можно предположить, что $a = 3m^2$.

Проверим это предположение: $a^2 = (3m^2)^2 = 9m^4$. Это совпадает с первым слагаемым в правой части, значит, наше предположение верно. Первая звёздочка во второй скобке равна $3m^2$.

Остальные звёздочки соответствуют $b$. Левая часть приобретает вид $(3m^2 + b)(3m^2 - b)$.

Правая часть равна $a^2 - b^2 = 9m^4 - b^2$. Сравнивая это с исходной правой частью $9m^4 - n^6$, находим, что $b^2 = n^6$.

Отсюда $b = \sqrt{n^6} = n^3$.

Подставляем найденные значения $a$ и $b$ в тождество.

В итоге получаем: $(3m^2 + n^3)(3m^2 - n^3) = 9m^4 - n^6$.

Ответ: $(3m^2 + n^3)(3m^2 - n^3) = 9m^4 - n^6$.