Номер 515, страница 95 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §14. Произведение разности и суммы двух выражений - номер 515, страница 95.

Условие.

515. Решите уравнение:

1) $8x(3 + 2x) - (4x + 3)(4x - 3) = 9x - 6;$

2) $7x - 4x(x - 5) = (8 - 2x)(8 + 2x) + 27x;$

3) $(6x + 7)(6x - 7) + 12x = 12x(3x + 1) - 49;$

4) $(x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)(x^4 + 16) = x^8 + 10x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) $8x(3 + 2x) - (4x + 3)(4x - 3) = 9x - 6$
Раскроем скобки в левой части уравнения. Первое слагаемое — это произведение одночлена на многочлен, а второе — произведение двух многочленов, которое можно упростить по формуле разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.
$24x + 16x^2 - ((4x)^2 - 3^2) = 9x - 6$
$24x + 16x^2 - (16x^2 - 9) = 9x - 6$
$24x + 16x^2 - 16x^2 + 9 = 9x - 6$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$24x + 9 = 9x - 6$
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую, изменяя знаки при переносе:
$24x - 9x = -6 - 9$
$15x = -15$
Найдем $x$:
$x = \frac{-15}{15}$
$x = -1$
Ответ: $-1$

2) $7x - 4x(x - 5) = (8 - 2x)(8 + 2x) + 27x$
Раскроем скобки в обеих частях уравнения. В левой части — произведение одночлена на многочлен, в правой части — формула разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.
$7x - 4x^2 + 20x = 8^2 - (2x)^2 + 27x$
$7x - 4x^2 + 20x = 64 - 4x^2 + 27x$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$27x - 4x^2 = 64 - 4x^2 + 27x$
Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы сравнить их:
$27x - 4x^2 - 64 + 4x^2 - 27x = 0$
Приведем подобные слагаемые:
$(27x - 27x) + (-4x^2 + 4x^2) - 64 = 0$
$0x + 0x^2 - 64 = 0$
$-64 = 0$
Получено неверное числовое равенство, которое не зависит от переменной $x$. Это означает, что уравнение не имеет решений (корней).
Ответ: нет корней.

3) $(6x + 7)(6x - 7) + 12x = 12x(3x + 1) - 49$
Раскроем скобки в обеих частях уравнения, используя формулу разности квадратов для левой части.
$(6x)^2 - 7^2 + 12x = 36x^2 + 12x - 49$
$36x^2 - 49 + 12x = 36x^2 + 12x - 49$
Сравним левую и правую части уравнения. Они полностью идентичны.
$36x^2 + 12x - 49 = 36x^2 + 12x - 49$
Если мы перенесем все члены из правой части в левую, они взаимно уничтожатся:
$(36x^2 - 36x^2) + (12x - 12x) + (-49 + 49) = 0$
$0 = 0$
Получено верное числовое равенство, не зависящее от $x$. Это означает, что уравнение является тождеством и выполняется для любого значения $x$.
Ответ: $x$ — любое число.

4) $(x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)(x^4 + 16) = x^8 + 10x$
Упростим левую часть уравнения, последовательно применяя формулу разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.
Сначала перемножим первые две скобки:
$(x - 2)(x + 2) = x^2 - 2^2 = x^2 - 4$
Уравнение примет вид:
$(x^2 - 4)(x^2 + 4)(x^4 + 16) = x^8 + 10x$
Теперь перемножим первые две скобки в новом выражении:
$(x^2 - 4)(x^2 + 4) = (x^2)^2 - 4^2 = x^4 - 16$
Уравнение примет вид:
$(x^4 - 16)(x^4 + 16) = x^8 + 10x$
И еще раз применим формулу разности квадратов:
$(x^4 - 16)(x^4 + 16) = (x^4)^2 - 16^2 = x^8 - 256$
Теперь исходное уравнение выглядит так:
$x^8 - 256 = x^8 + 10x$
Вычтем $x^8$ из обеих частей уравнения:
$-256 = 10x$
Найдем $x$:
$x = \frac{-256}{10}$
$x = -25.6$
Ответ: $-25.6$