Номер 514, страница 95 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §14. Произведение разности и суммы двух выражений - номер 514, страница 95.

Условие.

514. Упростите выражение:

1) $(x + 1)(x - 1) - (x + 5)(x - 5) + (x + 1)(x - 5)$;

2) $81a^8 - (3a^2 - b^3)(9a^4 + b^6)(3a^2 + b^3)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) $(x + 1)(x - 1) - (x + 5)(x - 5) + (x + 1)(x - 5)$

Для упрощения данного выражения применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ к первым двум произведениям и раскроем скобки в третьем произведении.

Упростим каждое произведение по отдельности:

$(x + 1)(x - 1) = x^2 - 1^2 = x^2 - 1$

$(x + 5)(x - 5) = x^2 - 5^2 = x^2 - 25$

$(x + 1)(x - 5) = x \cdot x + x \cdot (-5) + 1 \cdot x + 1 \cdot (-5) = x^2 - 5x + x - 5 = x^2 - 4x - 5$

Теперь подставим полученные выражения в исходное и раскроем скобки:

$(x^2 - 1) - (x^2 - 25) + (x^2 - 4x - 5) = x^2 - 1 - x^2 + 25 + x^2 - 4x - 5$

Приведем подобные слагаемые:

$(x^2 - x^2 + x^2) - 4x + (-1 + 25 - 5) = x^2 - 4x + 19$

Ответ: $x^2 - 4x + 19$.

2) $81a^8 - (3a^2 - b^3)(9a^4 + b^6)(3a^2 + b^3)$

Упростим выражение в скобках. Для этого сгруппируем множители, чтобы использовать формулу разности квадратов $(A - B)(A + B) = A^2 - B^2$.

$(3a^2 - b^3)(9a^4 + b^6)(3a^2 + b^3) = ((3a^2 - b^3)(3a^2 + b^3))(9a^4 + b^6)$

Применим формулу разности квадратов к первой паре скобок, где $A = 3a^2$ и $B = b^3$:

$(3a^2 - b^3)(3a^2 + b^3) = (3a^2)^2 - (b^3)^2 = 9a^4 - b^6$

Теперь выражение в скобках выглядит так:

$(9a^4 - b^6)(9a^4 + b^6)$

Снова применим формулу разности квадратов, где $A = 9a^4$ и $B = b^6$:

$(9a^4 - b^6)(9a^4 + b^6) = (9a^4)^2 - (b^6)^2 = 81a^8 - b^{12}$

Подставим результат в исходное выражение:

$81a^8 - (81a^8 - b^{12})$

Раскроем скобки:

$81a^8 - 81a^8 + b^{12}$

Сократим подобные слагаемые:

$0 + b^{12} = b^{12}$

Ответ: $b^{12}$.