Номер 519, страница 95 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §14. Произведение разности и суммы двух выражений - номер 519, страница 95.

Условие.

519. Докажите, что не существует такого натурального числа $n$, при котором значение выражения $(4n + 3)(9n - 4) - (6n - 5)(6n + 5) - 3(n - 2)$ делится нацело на 8.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для того чтобы доказать, что значение выражения не делится нацело на 8 ни при каком натуральном $n$, необходимо сначала упростить это выражение.

Исходное выражение: $(4n + 3)(9n - 4) - (6n - 5)(6n + 5) - 3(n - 2)$.

1. Раскроем произведение первых двух скобок:

$(4n + 3)(9n - 4) = 4n \cdot 9n - 4n \cdot 4 + 3 \cdot 9n - 3 \cdot 4 = 36n^2 - 16n + 27n - 12 = 36n^2 + 11n - 12$.

2. Раскроем произведение следующих двух скобок, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$(6n - 5)(6n + 5) = (6n)^2 - 5^2 = 36n^2 - 25$.

3. Раскроем последние скобки:

$3(n - 2) = 3n - 6$.

4. Подставим полученные результаты обратно в исходное выражение:

$(36n^2 + 11n - 12) - (36n^2 - 25) - (3n - 6)$.

5. Раскроем скобки, учитывая знаки, и приведем подобные слагаемые:

$36n^2 + 11n - 12 - 36n^2 + 25 - 3n + 6 = (36n^2 - 36n^2) + (11n - 3n) + (-12 + 25 + 6) = 0 + 8n + 19 = 8n + 19$.

Таким образом, исходное выражение тождественно равно $8n + 19$.

Теперь проверим, может ли значение выражения $8n + 19$ делиться нацело на 8. Для этого рассмотрим его делимость на 8. Выражение состоит из двух слагаемых: $8n$ и $19$.

Слагаемое $8n$ делится нацело на 8 при любом натуральном $n$, так как является произведением 8 и $n$.

Слагаемое $19$ при делении на 8 дает остаток 3, так как $19 = 8 \cdot 2 + 3$.

Следовательно, вся сумма $8n + 19$ при делении на 8 будет давать такой же остаток, как и 19, то есть 3. Это можно записать так:

$8n + 19 = 8n + 16 + 3 = 8(n + 2) + 3$.

Так как $n$ — натуральное число, то $n+2$ — целое число. Значит, выражение $8(n+2)$ делится на 8 нацело. Тогда все выражение $8(n+2)+3$ при делении на 8 дает остаток 3.

Поскольку для делимости нацело остаток должен быть равен 0, а у нас он всегда равен 3, то значение выражения никогда не будет делиться на 8 нацело ни при каком натуральном $n$.

Ответ: Утверждение доказано. Значение выражения равно $8n + 19$, которое при делении на 8 всегда дает остаток 3, следовательно, оно не делится нацело на 8 ни при каком натуральном $n$.