Номер 522, страница 95 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §14. Произведение разности и суммы двух выражений - номер 522, страница 95.

Условие.

522. Чему равно значение выражения:

1) $81^{15} \cdot 8^{20} - (6^{30} + 1)(6^{30} - 1)$;

2) $5^{24} - (5^3 - 2)(5^3 + 2)(5^6 + 4)(5^{12} + 16)$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) $81^{15} \cdot 8^{20} - (6^{30} + 1)(6^{30} - 1)$

Для решения этого выражения, упростим каждую его часть по отдельности.

Сначала упростим произведение $81^{15} \cdot 8^{20}$. Для этого представим основания 81 и 8 в виде степеней простых чисел: $81 = 3^4$ и $8 = 2^3$.

Подставим эти значения в выражение и воспользуемся свойством степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$81^{15} \cdot 8^{20} = (3^4)^{15} \cdot (2^3)^{20} = 3^{4 \cdot 15} \cdot 2^{3 \cdot 20} = 3^{60} \cdot 2^{60}$

Теперь используем свойство $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$:

$3^{60} \cdot 2^{60} = (3 \cdot 2)^{60} = 6^{60}$

Далее упростим вторую часть выражения $(6^{30} + 1)(6^{30} - 1)$, используя формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, где $a = 6^{30}$ и $b = 1$.

$(6^{30} + 1)(6^{30} - 1) = (6^{30})^2 - 1^2 = 6^{30 \cdot 2} - 1 = 6^{60} - 1$

Теперь подставим упрощенные части обратно в исходное выражение и выполним вычитание:

$6^{60} - (6^{60} - 1) = 6^{60} - 6^{60} + 1 = 1$

Ответ: $1$

2) $5^{24} - (5^3 - 2)(5^3 + 2)(5^6 + 4)(5^{12} + 16)$

Для решения этого примера будем последовательно применять формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ для произведения в скобках.

Сначала перемножим первые две скобки:

$(5^3 - 2)(5^3 + 2) = (5^3)^2 - 2^2 = 5^6 - 4$

Теперь выражение выглядит так: $5^{24} - (5^6 - 4)(5^6 + 4)(5^{12} + 16)$.

Умножим полученный результат на следующую скобку:

$(5^6 - 4)(5^6 + 4) = (5^6)^2 - 4^2 = 5^{12} - 16$

Теперь выражение выглядит так: $5^{24} - (5^{12} - 16)(5^{12} + 16)$.

Умножим оставшиеся скобки:

$(5^{12} - 16)(5^{12} + 16) = (5^{12})^2 - 16^2 = 5^{24} - 256$

Подставим полученный результат в исходное выражение:

$5^{24} - (5^{24} - 256) = 5^{24} - 5^{24} + 256 = 256$

Ответ: $256$