Номер 541, страница 99 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §15. Разность квадратов двух выражений - номер 541, страница 99.

Условие.

541. Представьте в виде произведения выражение:

1) $(x-2)^2 - 4$;

2) $(b+7)^2 - 100c^2$;

3) $121 - (b+7)^2$;

4) $a^4 - (7b-a^2)^2$;

5) $(4x-9)^2 - (2x+19)^2$;

6) $(a+b+c)^2 - (a-b-c)^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для решения всех задач используется формула разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

1) $(x - 2)^2 - 4$

Представим выражение в виде разности квадратов, где $4 = 2^2$:

$(x - 2)^2 - 2^2$

Применим формулу, где $a = (x - 2)$ и $b = 2$:

$((x - 2) - 2)((x - 2) + 2) = (x - 2 - 2)(x - 2 + 2) = (x - 4)(x)$

Ответ: $x(x - 4)$

2) $(b + 7)^2 - 100c^2$

Представим выражение в виде разности квадратов, где $100c^2 = (10c)^2$:

$(b + 7)^2 - (10c)^2$

Применим формулу, где $a = (b + 7)$ и $b = 10c$:

$((b + 7) - 10c)((b + 7) + 10c) = (b - 10c + 7)(b + 10c + 7)$

Ответ: $(b - 10c + 7)(b + 10c + 7)$

3) $121 - (b + 7)^2$

Представим выражение в виде разности квадратов, где $121 = 11^2$:

$11^2 - (b + 7)^2$

Применим формулу, где $a = 11$ и $b = (b + 7)$:

$(11 - (b + 7))(11 + (b + 7)) = (11 - b - 7)(11 + b + 7) = (4 - b)(18 + b)$

Ответ: $(4 - b)(18 + b)$

4) $a^4 - (7b - a^2)^2$

Представим выражение в виде разности квадратов, где $a^4 = (a^2)^2$:

$(a^2)^2 - (7b - a^2)^2$

Применим формулу, где $a = a^2$ и $b = (7b - a^2)$:

$(a^2 - (7b - a^2))(a^2 + (7b - a^2)) = (a^2 - 7b + a^2)(a^2 + 7b - a^2) = (2a^2 - 7b)(7b)$

Ответ: $7b(2a^2 - 7b)$

5) $(4x - 9)^2 - (2x + 19)^2$

Выражение уже представлено в виде разности квадратов. Применим формулу, где $a = (4x - 9)$ и $b = (2x + 19)$:

$((4x - 9) - (2x + 19))((4x - 9) + (2x + 19))$

Раскроем скобки внутри каждой из групп и приведем подобные слагаемые:

$(4x - 9 - 2x - 19)(4x - 9 + 2x + 19) = (2x - 28)(6x + 10)$

Вынесем общие множители из каждой скобки:

$2(x - 14) \cdot 2(3x + 5) = 4(x - 14)(3x + 5)$

Ответ: $4(x - 14)(3x + 5)$

6) $(a + b + c)^2 - (a - b - c)^2$

Применим формулу разности квадратов, где в роли $a$ выступает $(a + b + c)$, а в роли $b$ — $(a - b - c)$:

$((a + b + c) - (a - b - c))((a + b + c) + (a - b - c))$

Раскроем внутренние скобки и приведем подобные слагаемые:

$(a + b + c - a + b + c)(a + b + c + a - b - c) = (2b + 2c)(2a)$

Вынесем общий множитель $2$ из первой скобки и умножим:

$2(b + c)(2a) = 4a(b + c)$

Ответ: $4a(b + c)$