Номер 548, страница 100 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §15. Разность квадратов двух выражений - номер 548, страница 100.

Условие.

548. Решите уравнение:

1) $(3x - 5)^2 - 49 = 0;$

2) $(4x + 7)^2 - 9x^2 = 0;$

3) $(a - 1)^2 - (2a + 9)^2 = 0;$

4) $25(3b + 1)^2 - 16(2b - 1)^2 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) $(3x - 5)^2 - 49 = 0$
Представим число $49$ как $7^2$ и воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
$(3x - 5)^2 - 7^2 = 0$
$((3x - 5) - 7)((3x - 5) + 7) = 0$
$(3x - 12)(3x + 2) = 0$
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Поэтому:
$3x - 12 = 0$ или $3x + 2 = 0$
$3x = 12$ или $3x = -2$
$x_1 = 4$ или $x_2 = -\frac{2}{3}$
Ответ: $4; -\frac{2}{3}$.

2) $(4x + 7)^2 - 9x^2 = 0$
Представим $9x^2$ как $(3x)^2$ и применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
$(4x + 7)^2 - (3x)^2 = 0$
$((4x + 7) - 3x)((4x + 7) + 3x) = 0$
$(x + 7)(7x + 7) = 0$
Приравняем каждый множитель к нулю:
$x + 7 = 0$ или $7x + 7 = 0$
$x_1 = -7$ или $7x = -7$
$x_1 = -7$ или $x_2 = -1$
Ответ: $-7; -1$.

3) $(a - 1)^2 - (2a + 9)^2 = 0$
Уравнение уже представлено в виде разности квадратов. Применим формулу $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$, где $A = a - 1$ и $B = 2a + 9$.
$((a - 1) - (2a + 9))((a - 1) + (2a + 9)) = 0$
Раскроем скобки внутри каждого множителя:
$(a - 1 - 2a - 9)(a - 1 + 2a + 9) = 0$
$(-a - 10)(3a + 8) = 0$
Приравняем каждый множитель к нулю:
$-a - 10 = 0$ или $3a + 8 = 0$
$-a = 10$ или $3a = -8$
$a_1 = -10$ или $a_2 = -\frac{8}{3}$
Ответ: $-10; -\frac{8}{3}$.

4) $25(3b + 1)^2 - 16(2b - 1)^2 = 0$
Представим уравнение в виде разности квадратов. Для этого заметим, что $25 = 5^2$ и $16 = 4^2$.
$(5(3b + 1))^2 - (4(2b - 1))^2 = 0$
$(15b + 5)^2 - (8b - 4)^2 = 0$
Применим формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$, где $A = 15b+5$ и $B = 8b-4$.
$((15b + 5) - (8b - 4))((15b + 5) + (8b - 4)) = 0$
$(15b + 5 - 8b + 4)(15b + 5 + 8b - 4) = 0$
$(7b + 9)(23b + 1) = 0$
Приравняем каждый множитель к нулю:
$7b + 9 = 0$ или $23b + 1 = 0$
$7b = -9$ или $23b = -1$
$b_1 = -\frac{9}{7}$ или $b_2 = -\frac{1}{23}$
Ответ: $-\frac{9}{7}; -\frac{1}{23}$.