Номер 551, страница 100 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §15. Разность квадратов двух выражений - номер 551, страница 100.

Условие.

551. Докажите, что при любом натуральном $n$ значение выражения:

1) $(5n + 4)^2 - (5n - 4)^2$ делится нацело на 80;

2) $(9n + 10)^2 - (9n + 8)^2$ делится нацело на 36;

3) $(10n + 2)^2 - (4n - 10)^2$ делится нацело на 12.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для доказательства во всех пунктах воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

1) Докажем, что значение выражения $(5n + 4)^2 - (5n - 4)^2$ делится нацело на 80.

Применим формулу разности квадратов:

$(5n + 4)^2 - (5n - 4)^2 = ((5n + 4) - (5n - 4)) \cdot ((5n + 4) + (5n - 4))$

Упростим выражения в каждой из скобок:

Первая скобка: $(5n + 4) - (5n - 4) = 5n + 4 - 5n + 4 = 8$

Вторая скобка: $(5n + 4) + (5n - 4) = 5n + 4 + 5n - 4 = 10n$

Теперь перемножим полученные результаты:

$8 \cdot 10n = 80n$

Поскольку $n$ — натуральное число, то произведение $80n$ всегда будет делиться нацело на 80. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

2) Докажем, что значение выражения $(9n + 10)^2 - (9n + 8)^2$ делится нацело на 36.

Применим формулу разности квадратов:

$(9n + 10)^2 - (9n + 8)^2 = ((9n + 10) - (9n + 8)) \cdot ((9n + 10) + (9n + 8))$

Упростим выражения в каждой из скобок:

Первая скобка: $(9n + 10) - (9n + 8) = 9n + 10 - 9n - 8 = 2$

Вторая скобка: $(9n + 10) + (9n + 8) = 18n + 18 = 18(n + 1)$

Теперь перемножим полученные результаты:

$2 \cdot 18(n + 1) = 36(n + 1)$

Поскольку $n$ — натуральное число, то $(n + 1)$ также является натуральным числом. Следовательно, произведение $36(n + 1)$ всегда будет делиться нацело на 36. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

3) Докажем, что значение выражения $(10n + 2)^2 - (4n - 10)^2$ делится нацело на 12.

Применим формулу разности квадратов:

$(10n + 2)^2 - (4n - 10)^2 = ((10n + 2) - (4n - 10)) \cdot ((10n + 2) + (4n - 10))$

Упростим выражения в каждой из скобок:

Первая скобка: $(10n + 2) - (4n - 10) = 10n + 2 - 4n + 10 = 6n + 12 = 6(n + 2)$

Вторая скобка: $(10n + 2) + (4n - 10) = 14n - 8 = 2(7n - 4)$

Теперь перемножим полученные результаты:

$6(n + 2) \cdot 2(7n - 4) = 12(n + 2)(7n - 4)$

Поскольку $n$ — натуральное число, то выражения $(n + 2)$ и $(7n - 4)$ являются целыми числами. Следовательно, произведение $12(n + 2)(7n - 4)$ всегда будет делиться нацело на 12. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.