Номер 558, страница 101 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §15. Разность квадратов двух выражений - номер 558, страница 101.

Условие.

558. При каком значении $a$ уравнение $(a^2 - 25)x = a + 5$:

1) имеет бесконечно много корней;

2) не имеет корней;

3) имеет один корень?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Данное уравнение является линейным уравнением вида $Ax = B$, где $A = a^2 - 25$ и $B = a + 5$. Количество корней такого уравнения зависит от значений коэффициентов $A$ и $B$.

1) имеет бесконечно много корней

Уравнение имеет бесконечно много корней, если оно принимает вид $0 \cdot x = 0$. Это происходит, когда оба коэффициента равны нулю: $A = 0$ и $B = 0$.

Составим и решим систему уравнений:

$\begin{cases} a^2 - 25 = 0 \\ a + 5 = 0 \end{cases}$

Из второго уравнения находим $a = -5$.

Подставим это значение в первое уравнение, чтобы проверить, выполняется ли оно:

$(-5)^2 - 25 = 25 - 25 = 0$.

Так как при $a = -5$ оба условия выполняются, уравнение принимает вид $0 \cdot x = 0$ и имеет бесконечно много корней.

Ответ: $a = -5$.

2) не имеет корней

Уравнение не имеет корней, если оно принимает вид $0 \cdot x = B$, где $B \neq 0$. Это происходит, когда $A = 0$, а $B \neq 0$.

Составим и решим систему условий:

$\begin{cases} a^2 - 25 = 0 \\ a + 5 \neq 0 \end{cases}$

Из первого уравнения $a^2 - 25 = 0$ получаем $(a-5)(a+5)=0$, откуда $a=5$ или $a=-5$.

Второе условие $a + 5 \neq 0$ означает, что $a \neq -5$.

Выбираем из решений первого уравнения то, которое удовлетворяет второму условию. Этим значением является $a = 5$.

При $a = 5$ уравнение принимает вид $0 \cdot x = 10$, которое не имеет корней.

Ответ: $a = 5$.

3) имеет один корень

Уравнение имеет один (единственный) корень, если коэффициент при $x$ не равен нулю: $A \neq 0$.

В нашем случае это условие записывается как:

$a^2 - 25 \neq 0$

$(a-5)(a+5) \neq 0$

Это неравенство выполняется, когда $a-5 \neq 0$ и $a+5 \neq 0$, то есть $a \neq 5$ и $a \neq -5$.

При всех значениях $a$, кроме $5$ и $-5$, уравнение имеет единственный корень, который можно найти по формуле $x = \frac{B}{A} = \frac{a+5}{a^2-25}$.

Ответ: $a \neq 5$ и $a \neq -5$.