Номер 555, страница 100 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §15. Разность квадратов двух выражений - номер 555, страница 100.

Условие.

555. Разность квадратов двух двузначных чисел, записанных одними и теми же цифрами, равна 693. Найдите эти числа.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Пусть двузначные числа состоят из цифр $a$ и $b$. Поскольку числа являются двузначными, то $a \neq 0$ и $b \neq 0$. Так как числа разные (их разность квадратов не равна нулю), то и цифры, из которых они состоят, должны быть разными, то есть $a \neq b$.

Первое число можно записать как $10a + b$, а второе, записанное теми же цифрами в обратном порядке, как $10b + a$.

Согласно условию, разность их квадратов равна 693. Допустим, что первое число больше второго, то есть $10a + b > 10b + a$, что означает $a > b$. Тогда мы можем составить уравнение:

$(10a + b)^2 - (10b + a)^2 = 693$

Для решения уравнения воспользуемся формулой разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:

$((10a + b) - (10b + a)) \cdot ((10a + b) + (10b + a)) = 693$

Упростим выражения в каждой из скобок:

Первая скобка: $10a + b - 10b - a = 9a - 9b = 9(a - b)$

Вторая скобка: $10a + b + 10b + a = 11a + 11b = 11(a + b)$

Подставим полученные выражения обратно в уравнение:

$9(a - b) \cdot 11(a + b) = 693$

$99(a - b)(a + b) = 693$

Теперь разделим обе части уравнения на 99:

$(a - b)(a + b) = \frac{693}{99}$

$(a - b)(a + b) = 7$

Поскольку $a$ и $b$ — это цифры (целые числа от 1 до 9), то выражения $a-b$ и $a+b$ также являются целыми числами. Число 7 — простое, и его можно представить как произведение двух натуральных чисел только одним способом: $1 \cdot 7$.

Так как мы предположили, что $a > b$, то $a-b$ — положительное целое число. Сумма $a+b$ также является положительным целым числом, и очевидно, что $a+b > a-b$.

Это позволяет нам составить систему уравнений:

$\begin{cases} a - b = 1 \\ a + b = 7 \end{cases}$

Сложим два уравнения, чтобы найти $a$:

$(a - b) + (a + b) = 1 + 7$

$2a = 8$

$a = 4$

Теперь подставим значение $a=4$ в любое из уравнений системы, например, во второе, чтобы найти $b$:

$4 + b = 7$

$b = 3$

Таким образом, цифры, из которых состоят искомые числа, — это 4 и 3.

Находим сами числа:

Первое число: $10a + b = 10 \cdot 4 + 3 = 43$.

Второе число: $10b + a = 10 \cdot 3 + 4 = 34$.

Проведем проверку:

$43^2 - 34^2 = 1849 - 1156 = 693$.

Результат совпадает с условием задачи.

Ответ: 43 и 34.