Номер 550, страница 100 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §15. Разность квадратов двух выражений - номер 550, страница 100.

Условие.

550. Докажите, что при любом натуральном $n$ значение выражения:

1) $(7n + 4)^2 - 9$ делится нацело на 7;

2) $(8n + 1)^2 - (3n - 1)^2$ делится нацело на 11;

3) $(3n + 7)^2 - (3n - 5)^2$ делится нацело на 24;

4) $(7n + 6)^2 - (2n - 9)^2$ делится нацело на 15.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Докажем, что выражение $(7n + 4)^2 - 9$ делится нацело на 7.

Для доказательства воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Представим исходное выражение в виде разности квадратов, заметив, что $9 = 3^2$:

$(7n + 4)^2 - 9 = (7n + 4)^2 - 3^2$

Применим формулу, где $a = 7n + 4$ и $b = 3$:

$((7n + 4) - 3)((7n + 4) + 3) = (7n + 4 - 3)(7n + 4 + 3) = (7n + 1)(7n + 7)$

Вынесем общий множитель 7 из второй скобки:

$(7n + 1) \cdot 7(n + 1) = 7(n + 1)(7n + 1)$

Поскольку один из множителей равен 7, то все произведение делится нацело на 7 при любом натуральном значении $n$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

2) Докажем, что выражение $(8n + 1)^2 - (3n - 1)^2$ делится нацело на 11.

Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 8n + 1$ и $b = 3n - 1$.

$(8n + 1)^2 - (3n - 1)^2 = ((8n + 1) - (3n - 1))((8n + 1) + (3n - 1))$

Раскроем скобки в каждом из множителей и упростим:

$(8n + 1 - 3n + 1)(8n + 1 + 3n - 1) = (5n + 2)(11n)$

Представим произведение в виде:

$11n(5n + 2)$

Так как в выражении присутствует множитель 11, то оно делится нацело на 11 при любом натуральном $n$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

3) Докажем, что выражение $(3n + 7)^2 - (3n - 5)^2$ делится нацело на 24.

Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 3n + 7$ и $b = 3n - 5$.

$(3n + 7)^2 - (3n - 5)^2 = ((3n + 7) - (3n - 5))((3n + 7) + (3n - 5))$

Упростим каждый множитель:

$(3n + 7 - 3n + 5)(3n + 7 + 3n - 5) = (12)(6n + 2)$

Вынесем общий множитель 2 из второй скобки:

$12 \cdot 2(3n + 1) = 24(3n + 1)$

Полученное выражение имеет множитель 24, следовательно, оно делится нацело на 24 при любом натуральном $n$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

4) Докажем, что выражение $(7n + 6)^2 - (2n - 9)^2$ делится нацело на 15.

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 7n + 6$ и $b = 2n - 9$.

$(7n + 6)^2 - (2n - 9)^2 = ((7n + 6) - (2n - 9))((7n + 6) + (2n - 9))$

Упростим выражения в скобках:

$(7n + 6 - 2n + 9)(7n + 6 + 2n - 9) = (5n + 15)(9n - 3)$

Вынесем общие множители из каждой скобки: 5 из первой и 3 из второй.

$5(n + 3) \cdot 3(3n - 1) = 15(n + 3)(3n - 1)$

Так как один из множителей в произведении равен 15, то все выражение делится нацело на 15 при любом натуральном $n$.

Ответ: Что и требовалось доказать.