Номер 546, страница 100 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §15. Разность квадратов двух выражений - номер 546, страница 100.

Условие.

546. Представьте в виде произведения трёх множителей выражение:

1) $m^4 - 625;$

2) $x^{16} - 81;$

3) $2^{4n} - 16,$

где n – натуральное число.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Чтобы представить выражение $m^4 - 625$ в виде произведения трёх множителей, применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
Сначала представим исходное выражение как разность квадратов:
$m^4 - 625 = (m^2)^2 - 25^2$
Применив формулу, получим:
$(m^2)^2 - 25^2 = (m^2 - 25)(m^2 + 25)$
Мы получили два множителя. Заметим, что первый множитель, $m^2 - 25$, также является разностью квадратов: $m^2 - 5^2$. Разложим и его:
$m^2 - 25 = (m - 5)(m + 5)$
Теперь подставим это разложение обратно в наше выражение:
$(m^2 - 25)(m^2 + 25) = (m - 5)(m + 5)(m^2 + 25)$
Таким образом, мы представили выражение в виде произведения трёх множителей.
Ответ: $(m - 5)(m + 5)(m^2 + 25)$.

2) Представим выражение $x^{16} - 81$ в виде произведения, используя формулу разности квадратов.
Сначала представим выражение как $ (x^8)^2 - 9^2 $:
$x^{16} - 81 = (x^8)^2 - 9^2 = (x^8 - 9)(x^8 + 9)$
Теперь у нас есть два множителя. Первый множитель, $x^8 - 9$, снова можно разложить по формуле разности квадратов, представив его как $(x^4)^2 - 3^2$:
$x^8 - 9 = (x^4)^2 - 3^2 = (x^4 - 3)(x^4 + 3)$
Подставим результат в предыдущее выражение:
$(x^8 - 9)(x^8 + 9) = (x^4 - 3)(x^4 + 3)(x^8 + 9)$
Мы получили произведение трёх множителей.
Ответ: $(x^4 - 3)(x^4 + 3)(x^8 + 9)$.

3) Представим выражение $2^{4n} - 16$ в виде произведения трёх множителей, где $n$ — натуральное число.
Воспользуемся формулой разности квадратов. Для этого представим выражение в соответствующем виде:
$2^{4n} - 16 = (2^{2n})^2 - 4^2$
Применяем формулу:
$(2^{2n})^2 - 4^2 = (2^{2n} - 4)(2^{2n} + 4)$
Теперь первый множитель $2^{2n} - 4$ также можно разложить как разность квадратов, представив его в виде $(2^n)^2 - 2^2$:
$2^{2n} - 4 = (2^n)^2 - 2^2 = (2^n - 2)(2^n + 2)$
Подставим это разложение в наше выражение:
$(2^{2n} - 4)(2^{2n} + 4) = (2^n - 2)(2^n + 2)(2^{2n} + 4)$
Таким образом, мы получили произведение трёх множителей.
Ответ: $(2^n - 2)(2^n + 2)(2^{2n} + 4)$.