Номер 552, страница 100 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §15. Разность квадратов двух выражений - номер 552, страница 100.

Условие.

552. Докажите, что:

1) разность квадратов двух последовательных натуральных чисел равна сумме этих чисел; $$(n+1)^2 - n^2 = n + (n+1)$$

2) разность квадратов двух последовательных чётных чисел делится нацело на 4. $$(2k+2)^2 - (2k)^2 \text{ делится нацело на } 4$$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1)

Пусть даны два последовательных натуральных числа: $n$ и $n+1$.

Найдём разность их квадратов. Поскольку $n+1 > n$, из квадрата большего числа вычтем квадрат меньшего. Выражение для разности квадратов будет выглядеть так: $(n+1)^2 - n^2$.

Воспользуемся формулой сокращённого умножения для разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(n+1)^2 - n^2 = ((n+1) - n)((n+1) + n) = (1)(2n+1) = 2n+1$.

Теперь найдём сумму этих двух чисел:

$n + (n+1) = 2n+1$.

Сравнивая полученные результаты, мы видим, что разность квадратов $(2n+1)$ действительно равна сумме этих чисел $(2n+1)$, что и требовалось доказать.

Ответ: Разность квадратов двух последовательных натуральных чисел равна их сумме.

2)

Пусть даны два последовательных чётных числа. Любое чётное число можно представить в виде $2k$, где $k$ – натуральное число. Тогда два последовательных чётных числа можно записать как $2k$ и $2k+2$.

Найдём разность их квадратов: $(2k+2)^2 - (2k)^2$.

Снова воспользуемся формулой разности квадратов:

$(2k+2)^2 - (2k)^2 = ((2k+2) - 2k)((2k+2) + 2k) = (2)(4k+2)$.

Вынесем общий множитель 2 из второй скобки:

$2 \cdot (4k+2) = 2 \cdot 2(2k+1) = 4(2k+1)$.

Полученное выражение $4(2k+1)$ содержит множитель 4. Это означает, что оно всегда будет делиться на 4 нацело при любом натуральном значении $k$, так как $2k+1$ будет целым числом.

Ответ: Разность квадратов двух последовательных чётных чисел делится нацело на 4.