Номер 553, страница 100 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §15. Разность квадратов двух выражений - номер 553, страница 100.

Условие.

553. Докажите, что:

1) разность квадратов двух последовательных чётных чисел равна удвоенной сумме этих чисел;

2) разность квадратов двух последовательных нечётных чисел делится нацело на 8.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1)

Пусть два последовательных чётных числа равны $2n$ и $2n+2$, где $n$ — любое целое число.

Найдём разность их квадратов, используя формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(2n+2)^2 - (2n)^2 = ((2n+2) - 2n) \cdot ((2n+2) + 2n) = 2 \cdot (4n+2) = 8n+4$.

Теперь найдём удвоенную сумму этих чисел:

$2 \cdot (2n + (2n+2)) = 2 \cdot (4n+2) = 8n+4$.

Сравнивая результаты, видим, что разность квадратов ($8n+4$) равна удвоенной сумме этих чисел ($8n+4$), что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

2)

Пусть два последовательных нечётных числа равны $2n+1$ и $2n+3$, где $n$ — любое целое число.

Найдём разность их квадратов, используя формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(2n+3)^2 - (2n+1)^2 = ((2n+3) - (2n+1)) \cdot ((2n+3) + (2n+1))$.

Упростим выражение:

$(2n+3-2n-1) \cdot (4n+4) = 2 \cdot (4n+4) = 8n+8$.

Вынесем общий множитель 8 за скобки: $8(n+1)$.

Так как $n$ — целое число, то $n+1$ также является целым числом. Следовательно, выражение $8(n+1)$ всегда делится нацело на 8, поскольку одним из его множителей является 8.

Ответ: Утверждение доказано.