Номер 623, страница 109 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §16. Квадрат суммы и квадарт разности двух выражений - номер 623, страница 109.

Условие.

623. Известно, что натуральные числа $m$ и $n$ таковы, что значение выражения $10m + n$ делится нацело на 11. Докажите, что значение выражения $(10m + n)(10n + m)$ делится нацело на 121.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

По условию задачи, выражение $10m + n$ делится нацело на 11, где $m$ и $n$ — натуральные числа. В терминах сравнений по модулю это можно записать как:

$10m + n \equiv 0 \pmod{11}$

Воспользуемся свойством сравнений. Так как число 10 при делении на 11 дает в остатке 10, или -1, то есть $10 \equiv -1 \pmod{11}$. Заменим $10$ на $-1$ в нашем сравнении:

$(-1) \cdot m + n \equiv 0 \pmod{11}$

$-m + n \equiv 0 \pmod{11}$

Это означает, что $n \equiv m \pmod{11}$. То есть, числа $m$ и $n$ имеют одинаковые остатки при делении на 11.

Теперь рассмотрим второй множитель в выражении $(10m + n)(10n + m)$, а именно $10n + m$, и проверим его делимость на 11.

Рассмотрим выражение $10n + m$ по модулю 11:

$10n + m \pmod{11}$

Снова заменим $10$ на $-1$:

$10n + m \equiv -n + m \pmod{11}$

Так как мы ранее установили, что $n \equiv m \pmod{11}$, то разность $m - n$ делится на 11, следовательно, $-n + m \equiv 0 \pmod{11}$.

Таким образом, мы доказали, что выражение $10n + m$ также делится нацело на 11.

Итак, мы имеем произведение $(10m + n)(10n + m)$. Первый множитель, $10m + n$, делится на 11 по условию задачи. Второй множитель, $10n + m$, как мы только что доказали, тоже делится на 11.

Поскольку оба множителя делятся на 11, их произведение должно делиться на $11 \cdot 11 = 121$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Из условия, что $10m+n$ делится на 11, следует, что $n \equiv m \pmod{11}$. Тогда второй множитель $10n+m \equiv -n+m \pmod{11}$. Так как $n \equiv m \pmod{11}$, то $-n+m \equiv -m+m \equiv 0 \pmod{11}$, то есть $10n+m$ тоже делится на 11. Произведение двух чисел, каждое из которых делится на 11, делится на $11^2 = 121$.