Номер 626, страница 111 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §17. Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух выражений - номер 626, страница 111.

Условие.

626. Представьте многочлен в виде квадрата суммы или квадрата разности двух выражений:

1) $a^2 + 2a + 1;$

2) $x^2 - 12x + 36;$

3) $y^2 - 18y + 81;$

4) $100 - 20c + c^2;$

5) $a^2 - 6ab + 9b^2;$

6) $9a^2 - 30ab + 25b^2;$

7) $b^4 - 2b^2c + c^2;$

8) $m^8 + m^4n^2 + \frac{1}{4}n^4;$

9) $36a^2b^2 - 12ab + 1;$

10) $x^4 + 2x^2 + 1;$

11) $\frac{1}{16}x^4 - 2x^2y^3 + 16y^6;$

12) $0,01a^8 + 25b^{14} - a^4b^7.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для решения данной задачи используются формулы сокращенного умножения:

• Квадрат суммы: $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$
• Квадрат разности: $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$

1) Многочлен $a^2 + 2a + 1$ соответствует формуле квадрата суммы $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$.
Здесь $A^2 = a^2 \Rightarrow A=a$ и $B^2 = 1 \Rightarrow B=1$.
Удвоенное произведение $2AB = 2 \cdot a \cdot 1 = 2a$, что совпадает со средним членом многочлена.
Следовательно, $a^2 + 2a + 1 = (a+1)^2$.
Ответ: $(a+1)^2$.

2) Многочлен $x^2 - 12x + 36$ соответствует формуле квадрата разности $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.
Здесь $A^2 = x^2 \Rightarrow A=x$ и $B^2 = 36 \Rightarrow B=6$.
Удвоенное произведение $2AB = 2 \cdot x \cdot 6 = 12x$. Средний член многочлена равен $-12x$.
Следовательно, $x^2 - 12x + 36 = (x-6)^2$.
Ответ: $(x-6)^2$.

3) Многочлен $y^2 - 18y + 81$ соответствует формуле квадрата разности $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.
Здесь $A^2 = y^2 \Rightarrow A=y$ и $B^2 = 81 \Rightarrow B=9$.
Удвоенное произведение $2AB = 2 \cdot y \cdot 9 = 18y$. Средний член многочлена равен $-18y$.
Следовательно, $y^2 - 18y + 81 = (y-9)^2$.
Ответ: $(y-9)^2$.

4) Многочлен $100 - 20c + c^2$ соответствует формуле квадрата разности $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.
Здесь $A^2 = 100 \Rightarrow A=10$ и $B^2 = c^2 \Rightarrow B=c$.
Удвоенное произведение $2AB = 2 \cdot 10 \cdot c = 20c$. Средний член многочлена равен $-20c$.
Следовательно, $100 - 20c + c^2 = (10-c)^2$.
Ответ: $(10-c)^2$.

5) Многочлен $a^2 - 6ab + 9b^2$ соответствует формуле квадрата разности $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.
Здесь $A^2 = a^2 \Rightarrow A=a$ и $B^2 = 9b^2 \Rightarrow B=3b$.
Удвоенное произведение $2AB = 2 \cdot a \cdot 3b = 6ab$. Средний член многочлена равен $-6ab$.
Следовательно, $a^2 - 6ab + 9b^2 = (a-3b)^2$.
Ответ: $(a-3b)^2$.

6) Многочлен $9a^2 - 30ab + 25b^2$ соответствует формуле квадрата разности $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.
Здесь $A^2 = 9a^2 \Rightarrow A=3a$ и $B^2 = 25b^2 \Rightarrow B=5b$.
Удвоенное произведение $2AB = 2 \cdot 3a \cdot 5b = 30ab$. Средний член многочлена равен $-30ab$.
Следовательно, $9a^2 - 30ab + 25b^2 = (3a-5b)^2$.
Ответ: $(3a-5b)^2$.

7) Многочлен $b^4 - 2b^2c + c^2$ соответствует формуле квадрата разности $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.
Здесь $A^2 = b^4 = (b^2)^2 \Rightarrow A=b^2$ и $B^2 = c^2 \Rightarrow B=c$.
Удвоенное произведение $2AB = 2 \cdot b^2 \cdot c = 2b^2c$. Средний член многочлена равен $-2b^2c$.
Следовательно, $b^4 - 2b^2c + c^2 = (b^2-c)^2$.
Ответ: $(b^2-c)^2$.

8) Многочлен $m^8 + m^4n^2 + \frac{1}{4}n^4$ соответствует формуле квадрата суммы $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$.
Здесь $A^2 = m^8 = (m^4)^2 \Rightarrow A=m^4$ и $B^2 = \frac{1}{4}n^4 = (\frac{1}{2}n^2)^2 \Rightarrow B=\frac{1}{2}n^2$.
Удвоенное произведение $2AB = 2 \cdot m^4 \cdot \frac{1}{2}n^2 = m^4n^2$, что совпадает со средним членом многочлена.
Следовательно, $m^8 + m^4n^2 + \frac{1}{4}n^4 = (m^4 + \frac{1}{2}n^2)^2$.
Ответ: $(m^4 + \frac{1}{2}n^2)^2$.

9) Многочлен $36a^2b^2 - 12ab + 1$ соответствует формуле квадрата разности $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.
Здесь $A^2 = 36a^2b^2 = (6ab)^2 \Rightarrow A=6ab$ и $B^2 = 1 \Rightarrow B=1$.
Удвоенное произведение $2AB = 2 \cdot 6ab \cdot 1 = 12ab$. Средний член многочлена равен $-12ab$.
Следовательно, $36a^2b^2 - 12ab + 1 = (6ab-1)^2$.
Ответ: $(6ab-1)^2$.

10) Многочлен $x^4 + 2x^2 + 1$ соответствует формуле квадрата суммы $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$.
Здесь $A^2 = x^4 = (x^2)^2 \Rightarrow A=x^2$ и $B^2 = 1 \Rightarrow B=1$.
Удвоенное произведение $2AB = 2 \cdot x^2 \cdot 1 = 2x^2$, что совпадает со средним членом многочлена.
Следовательно, $x^4 + 2x^2 + 1 = (x^2+1)^2$.
Ответ: $(x^2+1)^2$.

11) Многочлен $\frac{1}{16}x^4 - 2x^2y^3 + 16y^6$ соответствует формуле квадрата разности $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.
Здесь $A^2 = \frac{1}{16}x^4 = (\frac{1}{4}x^2)^2 \Rightarrow A=\frac{1}{4}x^2$ и $B^2 = 16y^6 = (4y^3)^2 \Rightarrow B=4y^3$.
Удвоенное произведение $2AB = 2 \cdot \frac{1}{4}x^2 \cdot 4y^3 = 2x^2y^3$. Средний член многочлена равен $-2x^2y^3$.
Следовательно, $\frac{1}{16}x^4 - 2x^2y^3 + 16y^6 = (\frac{1}{4}x^2 - 4y^3)^2$.
Ответ: $(\frac{1}{4}x^2 - 4y^3)^2$.

12) Переставим члены многочлена $0.01a^8 + 25b^{14} - a^4b^7$ для удобства: $0.01a^8 - a^4b^7 + 25b^{14}$.
Данный многочлен соответствует формуле квадрата разности $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.
Здесь $A^2 = 0.01a^8 = (0.1a^4)^2 \Rightarrow A=0.1a^4$ и $B^2 = 25b^{14} = (5b^7)^2 \Rightarrow B=5b^7$.
Удвоенное произведение $2AB = 2 \cdot 0.1a^4 \cdot 5b^7 = 1 \cdot a^4b^7 = a^4b^7$. Средний член многочлена равен $-a^4b^7$.
Следовательно, $0.01a^8 - a^4b^7 + 25b^{14} = (0.1a^4 - 5b^7)^2$.
Ответ: $(0.1a^4 - 5b^7)^2$.