Номер 632, страница 112 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §17. Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух выражений - номер 632, страница 112.

Условие.

632. Представьте, если это возможно, в виде квадрата двучлена или в виде выражения, противоположного квадрату двучлена, трёхчлен:

1) $-8x + 16 + x^2$

2) $a^8 + 4a^4b^3 + 4b^6$

3) $2x - 25 - 0,04x^2$

4) $25m^2 - 15mn + 9n^2$

5) $81c^2 - 54b^2c + 9b^2$

6) $b^{10} - a^2b^5 + 0,25a^4$

7) $\frac{1}{16} x^2 - xy + 4y^2$

8) $ -\frac{9}{64} n^6 - 3mn^5 - 16m^2n^4$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Исходное выражение: $-8x + 16 + x^2$.
Переставим слагаемые для удобства: $x^2 - 8x + 16$.
Этот трехчлен соответствует формуле квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
В нашем случае: $a^2 = x^2$, значит $a=x$.
$b^2 = 16$, значит $b=4$.
Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot x \cdot 4 = 8x$.
Так как в выражении стоит $-8x$, то это полный квадрат разности.
$x^2 - 8x + 16 = (x - 4)^2$.
Ответ: $(x - 4)^2$

2) Исходное выражение: $a^8 + 4a^4b^3 + 4b^6$.
Этот трехчлен соответствует формуле квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
В нашем случае: $a^2 = a^8 = (a^4)^2$, значит $a = a^4$.
$b^2 = 4b^6 = (2b^3)^2$, значит $b = 2b^3$.
Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot a^4 \cdot 2b^3 = 4a^4b^3$.
Это совпадает со средним членом исходного выражения.
$a^8 + 4a^4b^3 + 4b^6 = (a^4 + 2b^3)^2$.
Ответ: $(a^4 + 2b^3)^2$

3) Исходное выражение: $2x - 25 - 0.04x^2$.
Переставим слагаемые и вынесем минус за скобку: $-(0.04x^2 - 2x + 25)$.
Выражение в скобках $0.04x^2 - 2x + 25$ проверим на соответствие формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
В нашем случае: $a^2 = 0.04x^2 = (0.2x)^2$, значит $a = 0.2x$.
$b^2 = 25 = 5^2$, значит $b = 5$.
Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot 0.2x \cdot 5 = 2x$.
Так как в выражении в скобках стоит $-2x$, то оно является полным квадратом разности: $(0.2x - 5)^2$.
Следовательно, исходное выражение равно $-(0.2x - 5)^2$.
Ответ: $-(0.2x - 5)^2$

4) Исходное выражение: $25m^2 - 15mn + 9n^2$.
Попробуем представить его в виде квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
В нашем случае: $a^2 = 25m^2 = (5m)^2$, значит $a = 5m$.
$b^2 = 9n^2 = (3n)^2$, значит $b = 3n$.
Проверим, чему должно быть равно удвоенное произведение: $2ab = 2 \cdot 5m \cdot 3n = 30mn$.
Средний член в исходном выражении равен $15mn$, что не равно $30mn$.
Следовательно, данный трехчлен нельзя представить в виде квадрата двучлена.
Ответ: Представить в виде квадрата двучлена невозможно.

5) Исходное выражение: $81c^2 - 54b^3c + 9b^6$.
Этот трехчлен соответствует формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
В нашем случае: $a^2 = 81c^2 = (9c)^2$, значит $a = 9c$.
$b^2 = 9b^6 = (3b^3)^2$, значит $b = 3b^3$.
Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot 9c \cdot 3b^3 = 54b^3c$.
Так как в выражении стоит $-54b^3c$, то это полный квадрат разности.
$81c^2 - 54b^3c + 9b^6 = (9c - 3b^3)^2$.
Ответ: $(9c - 3b^3)^2$

6) Исходное выражение: $b^{10} - a^2b^5 + 0.25a^4$.
Этот трехчлен соответствует формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
В нашем случае: $a^2 = b^{10} = (b^5)^2$, значит $a = b^5$.
$b^2 = 0.25a^4 = (0.5a^2)^2$, значит $b = 0.5a^2$.
Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot b^5 \cdot 0.5a^2 = a^2b^5$.
Так как в выражении стоит $-a^2b^5$, то это полный квадрат разности.
$b^{10} - a^2b^5 + 0.25a^4 = (b^5 - 0.5a^2)^2$.
Ответ: $(b^5 - 0.5a^2)^2$

7) Исходное выражение: $\frac{1}{16}x^2 - xy + 4y^2$.
Этот трехчлен соответствует формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
В нашем случае: $a^2 = \frac{1}{16}x^2 = (\frac{1}{4}x)^2$, значит $a = \frac{1}{4}x$.
$b^2 = 4y^2 = (2y)^2$, значит $b = 2y$.
Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot \frac{1}{4}x \cdot 2y = xy$.
Так как в выражении стоит $-xy$, то это полный квадрат разности.
$\frac{1}{16}x^2 - xy + 4y^2 = (\frac{1}{4}x - 2y)^2$.
Ответ: $(\frac{1}{4}x - 2y)^2$

8) Исходное выражение: $-\frac{9}{64}n^6 - 3mn^5 - 16m^2n^4$.
Вынесем минус за скобку: $-(\frac{9}{64}n^6 + 3mn^5 + 16m^2n^4)$.
Выражение в скобках проверим на соответствие формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
В нашем случае: $a^2 = \frac{9}{64}n^6 = (\frac{3}{8}n^3)^2$, значит $a = \frac{3}{8}n^3$.
$b^2 = 16m^2n^4 = (4mn^2)^2$, значит $b = 4mn^2$.
Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot \frac{3}{8}n^3 \cdot 4mn^2 = \frac{24}{8}mn^5 = 3mn^5$.
Это совпадает со средним членом выражения в скобках, значит оно является полным квадратом суммы: $(\frac{3}{8}n^3 + 4mn^2)^2$.
Следовательно, исходное выражение равно $-(\frac{3}{8}n^3 + 4mn^2)^2$.
Ответ: $-(\frac{3}{8}n^3 + 4mn^2)^2$